返本歸元：基于“母題”與“子題”互化演變的探索

【摘要】解題訓練是學生掌握知識、提高能力的有效方式。問題的質量直接影響學生的學習效果。在小學數(shù)學解題教學中，可以把問題分為“母題”和“子題”?！澳割}”是最原始問題，“子題”是由“母題”遷移演變衍生出的新問題。在教學中，根據(jù)“母題”，可以通過不同的策略設計出具有不同教學效果的“子題”，也可以為較難的“子題”找出較易理解的“母題”，返本歸元，回溯核心知識本真，以達到促進學生理解知識、掌握知識、運用知識的目的。

【關鍵詞】小學數(shù)學；“母題”；“子題”；設計策略

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）89-0037-03

【作者簡介】楊宇超，江蘇省連云港師專一附小教育集團（江蘇連云港，222006）教師，二級教師。

在《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課程標準”）的課程總目標中，關于“問題解決”方面給出的教學目標是：要使學生“獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識”。要讓學生體驗解決問題的多樣性，需要教師返本歸元，回到核心知識本身，牢牢抓住解題環(huán)節(jié)的教學，發(fā)現(xiàn)在題目與題目之間存在著一種“遷移演變”關系，這種關系可以看成“母題”與“子題”的關系。

一、“母題”與“子題”的內涵及演變互化

（一）“母題”與“子題”的內涵

所謂“母題”，是指在小學數(shù)學教學和習題訓練中，使學生能掌握基礎知識點的最基本的例題或習題，這些問題具有基礎性、獨立性和完整性。通過對這些問題加以“改造”，變換問題背景或改變敘述方法或條件，或者設計新的問題求解，就可以演變出新的問題，即“子題”。

如在小學數(shù)學四年級“圖形與幾何”領域關于三角形的教學中，有這樣的“母題”：如圖1所示，計算三角形ABC的面積。由此“母題”可以演變出“子題”：在三角形ABC的邊AC外側有一點D，連接AD和CD，得到四邊形ABCD，利用三角形面積計算公式，求四邊形ABCD的面積（如圖2）。

可以看出，“子題”是在“母題”的基礎上改造得到的，目的是讓學生在計算四邊形面積的過程中，加深理解三角形的面積計算公式。

一般來說，“母題”考查的是學生對基本知識的掌握，是原題，提出的問題比較直接；“子題”是由“母題”演變而來的，是“母題”的變式或拓展，形式可以多樣。

（二）“子題”的設計形式

“子題”的設計形式可以分為以下幾種：延伸類、強化拓展類、娛樂應用類。

延伸類“子題”是指將之前所學的知識與現(xiàn)在所教的知識聯(lián)系起來，或將現(xiàn)在所學的知識與之后要教授的知識聯(lián)系起來的問題。通過“子題”的承前啟后作用，有助于加深學生的記憶，同時能讓學生對知識點的了解更具系統(tǒng)性。

強化拓展類“子題”是將“母題”分解成有關聯(lián)的“子題”，分解“母題”考查知識，以分步解題的方式強化學生對某一基礎知識的理解和運用，舉一反三，拓展學生的思維。

娛樂運用類“子題”是用學生喜歡的故事、游戲語言來描述問題，使數(shù)學語言在學生腦中形成生動的形象語言，將“母題”中的數(shù)學應用帶入學生能夠接觸到的生活化情境當中，既方便學生理解又能增強學生對“母題”知識的實際運用能力，達到深入淺出的效果。

（三）“母題”與“子題”的關系

“母題”是“子題”產生的源頭，“子題”是“母題”在知識鏈上的延伸和擴展，二者有共性又有個性。若將“母題”比作一棵大樹的主干，“子題”即為枝干，我們可以通過作為主干的“母題”延伸到作為其枝干的“子題”，為學生提供新的知識場景，也可以通過作為枝干的“子題”反溯回作為主干的“母題”，探尋問題的本質?！澳割}”與“子題”的關系見圖3。

二、“母題”與“子題”演變互化的價值尋繹

課程標準指出：數(shù)學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”……處理好局部知識與整體知識的關系。因此，研究“母題”與“子題”的演變轉化，對學生的學習和發(fā)展具有重要的價值。

通過對題目的歸納總結，由“母題”遷移演變出“子題”，可以增強學生遷移歸納知識的能力；通過降低或提高“母題”難度、改變“母題”表達方式、拓展應用范圍，能拓展兒童思維的發(fā)散性與深刻性；通過形式迥異的“子題”回溯到同一本質的“母題”，有助于提高學生的逆向思維和解決問題的能力。

三、“母題”與“子題”的演變互化策略

（一）“母題”演變“子題”的設計策略探尋

在小學數(shù)學教學中，設計“子題”要立足學生實際，可以遵循以下策略：

1.“向前追溯”和“向后拓展”。

在考查學生的新學知識點時，教師可以設計向前追溯的“子題”，將該知識點與之前所學的知識點聯(lián)系起來，這樣既能考查學生對新學知識的掌握情況，又能加強學生對之前所學知識的記憶，通過知識鏈條的鏈接，深化學生數(shù)學思維的深度。

教師也可以通過擴展“母題”知識點的運用范圍，設計后延類“子題”，與之后要學習的知識點相聯(lián)系，使知識系統(tǒng)下的知識點互相關聯(lián)，從而形成一張緊密的知識網(wǎng)，從而拓展學生的數(shù)學視野，開拓學生思維的廣度。

2.“強化理解”和“啟發(fā)應用”。

強化理解類“子題”可以幫助學生養(yǎng)成分析問題的能力，使他們的思維有跡可循。如當“母題”要考查的知識點較多、題目整體較為復雜時，可以將題目按照一定的解題順序分解，使學生明晰題目思考的過程，從而降低理解難度。

教師還要善于啟發(fā)學生的思維，對于學習能力較強的學生，在他們能夠熟練運用已學知識的基礎上，可以引導他們將多個知識點進行組合，提高他們綜合運用知識解決問題的能力。

3.“寓教于樂”和“寓教于用”。

寓教于樂可以讓我們的課堂更加豐富有趣，當學生遇到難以理解的知識點時，教師可以將知識點與他們感興趣的事情聯(lián)系起來，吸引其注意力，在構造豐富而又富有樂趣的“子題”的同時，開啟學生思維的聯(lián)想空間。endprint

學以致用是學習的根本目的。對于學生難以理解的抽象數(shù)學概念或運算，教師可以聯(lián)系生活實際，通過富有樂趣的表述，激發(fā)學生的探究興趣和學習積極性，加深學生對知識的理解和運用，達到寓教于用的目的。

（二）“子題”溯源“母題”的遷移路徑探尋

在小學數(shù)學解題教學中，有些題目中要考查的知識點對學生來說難以掌握，此時，教師可將題目回溯到最基本的題型，返本歸元，也就是從“子題”向“母題”逆向發(fā)展，通過向學生展現(xiàn)“母題”，使他們透過表象看本質，增強他們對“子題”的理解及其解決問題的能力。

1.以學生的數(shù)學思維為原點，還原“母題”的本質要素。

小學生的思維要經歷一個由表及里、由淺入深的過程，因此，對于較為復雜的數(shù)學符號語言類題目，可以將其按照所考查的知識點和解題步驟分解成基本題型，還原“母題”的本質要素，以簡單組合題型的方式考查學生的學習能力。

例1【“子題”】小明在計算算式399+（3417-□）×17時，由于粗心大意，沒有看到括號，他最終的計算結果是397，那么原式的正確結果是多少？

上題的描述較為難懂，可以將其還原成“母題”：

【“母題”】若399+3417-x×17=397，求x=？此時，399+（3417-x）×17=？

這樣，將“子題”還原為“母題”，有助于學生抓住解決問題的關鍵，求此時的未知數(shù)x是多少的問題，繼而可以得出帶括號的原題的正確結果。

2.以學生的數(shù)學生活為基礎，提升“母題”的思維理解。

從題目表象提煉題目中的數(shù)學原理，回溯到具有其數(shù)學本質的“母題”，可以提升兒童對于“母題”思維的理解。

例2【“子題”】一條褲子打五折出售時賣60元，實際上以48元賣出。這條褲子實際上是幾折賣出的？

上述題目中要求幾折賣出，必須知道原價是多少，如果學生對打折的概念不清楚，則很難解答。教師可以設計成代數(shù)式“母題”，或補充問題，降低難度。

【“母題”】若方程x×0.5=60，則求x=？此時48÷x=？

數(shù)學符號語言表達的算式具有抽象性，把原題進行如上轉化后，將生活語言表達的數(shù)學問題與數(shù)學符號語言表達的算式相聯(lián)系，應用類題目就有了代數(shù)原型，學生會更容易理解。

3.以學生的數(shù)學學習為中心，歸納“母題”的內涵本質。

低年級學生的數(shù)學思維水平較低，當他們面對具有共同基礎知識延伸出來的“子題”出現(xiàn)困難時，教師可以將這些題目組織在一起，抽象歸納出“母題”的內涵本質，引導學生的解題方向，升華學生對于數(shù)學的認識。

例3【“子題”1】農夫果園今年收獲水蜜桃240噸，是今年收獲的紅富士蘋果的2倍，水蜜桃比紅富士蘋果多收多少噸？

例4【“子題”2】一根綢帶長20米，剪去一半后又剪去剩下部分的，這根綢帶還剩下多少米？

分析這兩個題目，可以看到它們具有共同的基礎知識：多少與倍數(shù)。為了使學生順利解答，可以作如下設計：

【“母題”1】240的是多少？

【“母題”2】10米的是多少米？

這樣，返本歸元，歸納出兩道“母題”的設計，能起到提醒和指引解題方向的作用，學生的解答思路會更加清晰。

綜上所述，在教學中重視“母題”與“子題”，是提高教學效果的重要手段。設計得當?shù)摹澳割}”和“子題”可以兼顧不同學習能力的學生，能有效促進學生對數(shù)學知識的理解和運用，是一種針對性強、實效性強的輔助教學方法，適合推廣使用。在教學時，教師應秉承數(shù)學的開放性思想，探究更多、更有效的解題教學方法，以加深學生對所學知識的理解和應用，真正實現(xiàn)課程標準中課程總目標在“問題解決”方面要求達到的教學目標。

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注：本文系2017年江蘇省“教海探航”征文競賽一等獎文章，有刪改。endprint