線性代數(shù)課程教學(xué)有效性方法探究

史玉石 田露

摘 要 根據(jù)線性代數(shù)課程的特點和學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，針對線性代數(shù)課程的教學(xué)有效性，主要就教師如何通過有效教學(xué)從而激發(fā)學(xué)生有效學(xué)習(xí)的方法進(jìn)行研究與探討，針對課前、課中、課下各環(huán)節(jié)問題提出觀點與方法，注重對學(xué)生的引導(dǎo)，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)學(xué)生借助線性代數(shù)解決實際問題的能力。

關(guān)鍵詞 線性代數(shù)；有效教學(xué)；有效學(xué)習(xí)；多媒體課件；MATLAB

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1671-489X（2018）22-0078-03

Abstract According to the characteristics of linear algebra course and students learning status， this paper studies and explores the tea-ching effectiveness of linear algebra course， mainly on how teachers can stimulate students effective learning through effective teaching， and puts forward ideas and methods for each link of pre-class， in-class and after-class in order to improve students learning. Learning efficiency， cultivating students ability to solve practical problems with linear algebra.

Key words linear algebra； effective teaching； effective learning； multimedia courseware； MATLAB

1 引言

線性代數(shù)是我國各高校經(jīng)濟管理類和理工類學(xué)生必修的一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，能夠提高學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力，在各專業(yè)學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)上有重要的實際應(yīng)用，而且在研究生考試的數(shù)學(xué)科目中也占有很大的比重。隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，線性代數(shù)在計算機科學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、社會學(xué)、物理學(xué)等各個領(lǐng)域都有非常重要的應(yīng)用，學(xué)生能夠在以后的工作或生活中借助線性代數(shù)的理論方法和思維能力解決實際問題，已顯得尤為重要。

教學(xué)有效性，通俗來講就是教學(xué)效益，如同企業(yè)發(fā)展需要追求經(jīng)濟效益的增長，教師教學(xué)所追求的則是自己的有效教學(xué)和學(xué)生的有效學(xué)習(xí)[1]。有效教學(xué)是指教師通過教學(xué)，使學(xué)生獲得預(yù)期的、應(yīng)有的和持久的發(fā)展；有效學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)行為發(fā)生者——學(xué)生基于自己生存的需要，基于同伴競爭的需要，基于個體興趣的需要，以及基于人生理想、目標(biāo)實現(xiàn)的需要而進(jìn)行的學(xué)習(xí)。有效學(xué)習(xí)是有效教學(xué)的出發(fā)點與歸宿，有效教學(xué)的核心是喚醒和激發(fā)學(xué)生的有效學(xué)習(xí)，教師是否以學(xué)生有效學(xué)習(xí)為中心組織教學(xué)，是教學(xué)改革成敗的關(guān)鍵所在[2]。

在教學(xué)中，教師需要不斷思考：如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，借助形象的描述與解釋將抽象的概念和理論化的數(shù)學(xué)語言剖析得淺顯易懂，變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)？如何通過線性代數(shù)課程的基本問題及解決過程來培養(yǎng)學(xué)生，繼而引導(dǎo)學(xué)生將更多的注意力放在能夠自己發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的思路和過程上，從而使學(xué)生更直接地看到數(shù)學(xué)的思維特點和在自身所學(xué)專業(yè)以及實際生產(chǎn)生活中的巨大作用和力量，以提高學(xué)習(xí)的積極性？更深入一點兒來說，線性代數(shù)課程教學(xué)應(yīng)該以培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力為目標(biāo)。

目前大部分高等院校安排線性代數(shù)這門課程的授課學(xué)時在40～48學(xué)時，有的學(xué)校甚至壓縮至32學(xué)時，而該課程的內(nèi)容較多并且高度抽象，致使學(xué)生課上學(xué)習(xí)時間嚴(yán)重不足。雖然線性代數(shù)課程的重點概念和方法比較集中，但都偏重于自身的理論體系，與高校中各專業(yè)相關(guān)的案例引入較少。學(xué)生在學(xué)習(xí)中普遍反映線性代數(shù)存在概念多、內(nèi)容抽象、計算過程繁復(fù)并且不容易理解等問題，以至于誤認(rèn)為線性代數(shù)這門課學(xué)而無用。甚至有很多學(xué)生將線性代數(shù)的學(xué)習(xí)定為應(yīng)付最終的期末考試，不能體會線性代數(shù)課程的真正用處，致使教師教學(xué)無效。

如何使學(xué)生在有限時間內(nèi)盡快掌握線性代數(shù)這門課程，提高學(xué)習(xí)效率，更可將這門課程的基本知識和一般方法滲透其他后續(xù)課程的學(xué)習(xí)當(dāng)中，是如今適應(yīng)應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式的環(huán)境，提高應(yīng)用型人才綜合實踐能力需要面對的問題 。本文針對線性代數(shù)課程的教學(xué)有效性，主要就教師通過有效教學(xué)激發(fā)學(xué)生有效學(xué)習(xí)的方法進(jìn)行研究與探討。

2 線性代數(shù)課程實現(xiàn)教學(xué)有效性的方法

充分做好課前準(zhǔn)備工作 線性代數(shù)教師需要把教材研究得十分透徹，對各章節(jié)的知識脈絡(luò)應(yīng)該足夠熟悉，重難點把握準(zhǔn)確。線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容主要分為行列式、矩陣、向量空間、線性方程組和實二次型。與別的課程相比，線性代數(shù)這門課程具有內(nèi)容抽象，符號多并且容易混淆，公式、計算龐雜，定理證明不易被理解的特點。教師通過對教材的深入研究，理清教學(xué)內(nèi)容的重點及學(xué)生不易掌握的難點，根據(jù)學(xué)生實際情況和認(rèn)知規(guī)律合理設(shè)計課堂教學(xué)內(nèi)容。一切以學(xué)生為本，教師除了在課前認(rèn)真?zhèn)湔n之外，還需要提前了解學(xué)生所學(xué)專業(yè)，注重數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實際應(yīng)用，多與專業(yè)課任課教師溝通，了解線性代數(shù)在專業(yè)課程中所起的作用。

根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，聯(lián)系學(xué)生所學(xué)專業(yè)內(nèi)容和已有的知識背景，不斷對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生不僅可以獲得線性代數(shù)的知識，而且知道這些數(shù)學(xué)內(nèi)容將在未來的專業(yè)學(xué)習(xí)中發(fā)揮什么作用。這將使學(xué)生對未來如何使用這些知識點有一個清晰的認(rèn)識，以便在以后的學(xué)習(xí)中取得事半功倍的效果。對同一部分教學(xué)內(nèi)容，針對不同專業(yè)的學(xué)生，在講授時側(cè)重點以及延伸知識點都要重新編排。比如講解二次型時，對經(jīng)濟管理類的學(xué)生要求其掌握標(biāo)準(zhǔn)形、正定二次型等幾個基本定義及基本計算過程，而對計算機類、電光類以及機械類等的工科學(xué)生，除了講授基本知識點以外，還可以結(jié)合線性變換的內(nèi)容增加包括圖片壓縮等方面的應(yīng)用[3]。

對于學(xué)生難以理解和接受的一些抽象概念，教師在備課時需要多花心思，借助適用的比喻和形象化的語言或者現(xiàn)實生活中的實際問題來引入。比如給學(xué)生介紹矩陣的概念，一般課本引入通常先給出一個線性方程組，再將未知量前的系數(shù)及等號后的常數(shù)按照在方程組中相對應(yīng)的位置排列，然后左右加上矩陣的符號，由此生硬地塞給學(xué)生矩陣的概念，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情不會太高。

在概念引入之前可以先和學(xué)生聊聊大家都喜歡的電影大片，比如正式上課前問學(xué)生有沒有看過電影《黑客帝國》，肯定會有學(xué)生響應(yīng)看過；再問這部電影的英文名字是什么，可能學(xué)生就不知道了。這時候可以告訴學(xué)生，它的英文名字是“The Matrix”，“Matrix”就是矩陣的意思，表示形式為一個數(shù)表，矩陣也是這次課需要學(xué)習(xí)的一個內(nèi)容。大家都喜歡看的電影竟然可以和枯燥的數(shù)學(xué)概念聯(lián)系起來，激起學(xué)生愿意繼續(xù)學(xué)習(xí)本節(jié)課的興趣。

和矩陣有關(guān)的電影有很多，如《模式識別》《人工智能》等，其中涉及大量計算機科學(xué)理論和數(shù)學(xué)理論在計算機科學(xué)中的應(yīng)用[4]。也可以從實際的例子引出矩陣，比如[5]：

有A、B兩個人玩剪刀、石頭、布的游戲，兩人同時出拳比試，規(guī)定勝方得一分，負(fù)方得負(fù)一分，平手各得零分。讓學(xué)生寫出A嬴的表格，就可以很自然地引入矩陣的概念。

由此，學(xué)生會了解枯燥的數(shù)學(xué)概念和理論與實際生活還有密切的聯(lián)系。

有效利用各種現(xiàn)代教育信息技術(shù)手段改進(jìn)教學(xué)環(huán)節(jié)，可以充分解決線性代數(shù)課程內(nèi)容抽象、計算過程相對重復(fù)復(fù)雜與授課學(xué)時短之間的矛盾 對于一些比較長的概念、定理推導(dǎo)證明和重復(fù)的計算過程，教師在黑板上板書勢必會浪費很多時間，更顯得課堂內(nèi)容枯燥無味，致使學(xué)生失去學(xué)習(xí)的興趣。此時可利用多媒體課件展現(xiàn)重復(fù)計算的內(nèi)容，并可以在較短時間內(nèi)給出學(xué)生一些教學(xué)案例，使教學(xué)內(nèi)容更豐富、更立體。如講到線性方程組的高斯消元法，教師在引入的時候可以用課件舉下面的例子[4]：

約在公元前200～公元前100年間，漢朝張倉所著的《九章算術(shù)》中有這樣的例證：有三種谷物，若取第一種谷物3扎、第二種谷物2扎、第三種谷物1扎，共重39石；若取第一種谷物2扎、第二種谷物3扎、第三種谷物1扎，總重為34石；若取第一種谷物1扎、第二種谷物2扎、第三種谷物3扎，總重26石。那么每一種谷物每扎各重多少？

課件顯示一目了然，學(xué)生可以很快根據(jù)實際問題自己寫出線性方程組。對于怎么求解這個問題，教師可以用課件繼續(xù)展示作者的計算方法，通過讓學(xué)生觀察，會使他們發(fā)現(xiàn)古人解線性方程組問題時使用的方法與矩陣的初等變換法基本一致，由此即可引導(dǎo)學(xué)生借助矩陣的初等變換法也就是高斯消元法求解一般的線性方程組。

除了利用多媒體課件提高課堂效率之外，還可借助其他各種教學(xué)輔助措施豐富教學(xué)內(nèi)容。隨著智能手機高科技智能化的不斷升級，各種非常實用的大學(xué)生手機在線學(xué)習(xí)軟件隨之產(chǎn)生。如網(wǎng)易公開課、中國大學(xué)MOOC等，里面有各著名高校關(guān)于線性代數(shù)課程方面的教學(xué)內(nèi)容和習(xí)題課等學(xué)習(xí)視頻。教師不僅可以經(jīng)常在線學(xué)習(xí)以提高自己的教學(xué)能力和水平，還可以針對某一章節(jié)的重點內(nèi)容提前要求學(xué)生在課下自主學(xué)習(xí)；并借助藍(lán)墨云班課、雨課堂等教學(xué)輔助軟件發(fā)布教學(xué)資源，在課堂上直接針對教學(xué)內(nèi)容對學(xué)生提出問題，使學(xué)生更積極主動地參與教學(xué)活動。利用QQ或微信建立線性代數(shù)學(xué)習(xí)交流群，隨時接收學(xué)生學(xué)習(xí)中的疑難問題，并在課下對學(xué)生的疑難點進(jìn)行統(tǒng)一答疑，及時反饋。

突出學(xué)生的主體地位和教師的導(dǎo)向作用[6]，注重對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo) 對學(xué)生不斷提出新問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，通過各種途徑積極解決問題，并且總結(jié)經(jīng)驗方法。比如在介紹過線性方程組的消元法之后，學(xué)生已經(jīng)了解了對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換的過程，但是最終要將矩陣變換到什么程度可以很快地求解出線性方程組，在課上可以先不直接給出學(xué)生結(jié)論。此時可以列舉出一般矩陣、階梯形矩陣和最簡階梯形矩陣三種矩陣形式，根據(jù)對比，最終發(fā)現(xiàn)將增廣矩陣初等行變換到最簡階梯形矩陣，可以很快地求解出線性方程組。接著繼續(xù)提出問題：是不是所有的線性方程組都是有解的？如果有解或者無解，對于初等變換后的矩陣來講，有什么特點？反映到線性方程組對應(yīng)的系數(shù)矩陣和增廣矩陣上又有什么不同？可以讓學(xué)生分小組進(jìn)行討論，然后每小組派代表總結(jié)。

由此，線性代數(shù)的課堂也不僅限于教師臺上板書，學(xué)生臺下記筆記，有了更多的教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間的互動。學(xué)生在自己解決問題的同時，不僅可以學(xué)到新的知識，加深對課程內(nèi)容的理解，而且鍛煉了自己的邏輯思維能力和伙伴意識。

教師不僅要在思維方式上引導(dǎo)學(xué)生，更要在學(xué)習(xí)模式上加以引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生從應(yīng)試型、計算型學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的模式向應(yīng)用型、技能型的學(xué)習(xí)模式轉(zhuǎn)變。教師在線性代數(shù)課上可以適時介紹MATLAB、Mathematic等數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用。MATLAB在矩陣間的運算、行列式與線性方程組的求解等線性代數(shù)運算中發(fā)揮了極大作用，并且程序簡單，計算方便。增設(shè)數(shù)學(xué)實驗課，設(shè)置高階矩陣運算、大型線性方程組求解等單純借助紙筆不易解決的問題，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用MATLAB、Mathematic等軟件編程處理。這樣不僅可以鍛煉學(xué)生對計算機軟件的實際操作能力，對后續(xù)需要應(yīng)用到MATLAB的專業(yè)課學(xué)習(xí)也起到很好的促進(jìn)作用。借助數(shù)學(xué)軟件，弱化一些復(fù)雜問題的手工計算，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，并且增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

精心設(shè)計，合理編排線性代數(shù)作業(yè)題目 由于線性代數(shù)課程包含大量的概念和計算問題，學(xué)生除了在課上聽講，課下抽時間做一些作業(yè)題目進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固更是必不可少。要使學(xué)生能在盡量短的時間內(nèi)復(fù)習(xí)課上所學(xué)內(nèi)容，教師需要根據(jù)每章節(jié)的重難點內(nèi)容合理編排，由易到難、由淺入深。重要的知識點根據(jù)填空、選擇、計算等形式設(shè)置分配，不斷強化訓(xùn)練，以加深學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的印象；難度較大的題目以選做題的形式設(shè)置，學(xué)有余力、學(xué)習(xí)程度比較好的學(xué)生可以選做，而對于學(xué)習(xí)程度較差的學(xué)生只需做必做題目即可。另外，教師還可以在課程末尾設(shè)置一些與學(xué)生所學(xué)專業(yè)相關(guān)并可利用線性代數(shù)基本知識解決問題的建模題目，以小組為單位，以報告或者論文的形式布置給學(xué)生。學(xué)生在尋求解決辦法的同時，不僅更深入理解了線性代數(shù)在所學(xué)專業(yè)中發(fā)揮的作用，更鍛煉了思維能力以及分析解決實際問題的能力。

3 結(jié)語

本文從線性代數(shù)課程的特點以及學(xué)生學(xué)習(xí)過程中存在的問題出發(fā)，提出提高線性代數(shù)課程教學(xué)有效性的方法，幫助教師提升教學(xué)能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，并且通過發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)及綜合應(yīng)用能力。下一步將不斷反思、總結(jié)更新的教學(xué)方法，以不斷提高教學(xué)質(zhì)量。

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