向小剛

[摘 要] 有效學(xué)習(xí)是有效教學(xué)的延伸與深化，沿著素質(zhì)教育、課程改革起到今天的核心素養(yǎng)，都離不開有效學(xué)習(xí)這個(gè)重要的基礎(chǔ). 有效學(xué)習(xí)需要學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)作為支撐，需要形象思維作為保證，需要在數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系中進(jìn)行深化. 有效學(xué)習(xí)需要在細(xì)節(jié)關(guān)注中幫學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；學(xué)生視角；有效學(xué)習(xí)

縱觀近年來的教學(xué)改革，從教育主管層面到地域?qū)用?，進(jìn)行了不少有益的探索，其中“有效教學(xué)”的研究至今仍然方興未艾，即便在核心素養(yǎng)成為引領(lǐng)教學(xué)改革新的旗幟背景下，通過對(duì)“有效教學(xué)”的研討，對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)依然大有裨益.考慮到教學(xué)的有效性是由學(xué)生有效的學(xué)習(xí)來保證的，因此從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來研究學(xué)科教學(xué)，顯得更有針對(duì)性也更有意義. 而既然是談“有效學(xué)習(xí)”，那就得從學(xué)生的視角出發(fā)，教師自身的教學(xué)視角只能作為參考，這是一個(gè)將教學(xué)研究的眼光從自身教學(xué)向?qū)W生學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變的過程，需要的是教學(xué)研究視角的轉(zhuǎn)換，更需要的是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)律的把握.

分析學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)

有效的學(xué)習(xí)一定是建立在自身的認(rèn)知基礎(chǔ)之上的，著名教育心理學(xué)家奧蘇伯爾曾經(jīng)鮮明地指出，更加有效的教學(xué)，是必須建立在了解清楚學(xué)生懂得了什么，哪里依然有困惑，然后再有針對(duì)性地施教，只有建立在掌握學(xué)生心理基礎(chǔ)上的教學(xué)才能稱之為“有效學(xué)習(xí)”. 通過這句話，我們可以悟出學(xué)習(xí)所需要的基礎(chǔ)性條件，就是學(xué)生原有的認(rèn)知.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生建構(gòu)一個(gè)數(shù)學(xué)概念需要哪些基礎(chǔ)，是教師需要關(guān)注的，同時(shí)也是需要提醒學(xué)生自己注意的.

比如說在“函數(shù)”這一內(nèi)容的教學(xué)中，很多學(xué)生都會(huì)感覺這部分知識(shí)太難，究其原因則是沒有成功建立起關(guān)于函數(shù)這部分的知識(shí)體系，甚至有學(xué)生對(duì)函數(shù)這一概念本身的理解都是不透徹的. 在這種情況下，機(jī)械的習(xí)題訓(xùn)練，效果往往是不明顯的，而筆者的做法是跟學(xué)生一同重新分析函數(shù)的基本概念，努力將這個(gè)概念建立在學(xué)生的原有理解之上.

應(yīng)當(dāng)說高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)描述還是非常詳細(xì)的，通常描述是這樣的：通常地，設(shè)A，B是兩個(gè)非空數(shù)集，假如按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使得集合A中的每一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有一個(gè)唯一的數(shù)f（x）與之對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A-B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，通常記為f（x），x∈A. 其中，x稱為自變量，y稱為因變量.所有自變量x組成的集合A叫作函數(shù)y=f（x）的定義域；與x值相對(duì)應(yīng)的y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫作函數(shù)的值域.

對(duì)于這樣的一段純粹的數(shù)學(xué)語言，學(xué)生理解起來其實(shí)是有著不少的困難的，其中的主要困難是對(duì)函數(shù)的三要素中對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解，而這一理解如果出現(xiàn)困難，那定義域與值域的理解其實(shí)也是空中樓閣——這里要防止出現(xiàn)的情形是：以為學(xué)生能夠輕易理解定義域與值域的內(nèi)涵，就下定論認(rèn)為學(xué)生真正掌握了函數(shù)概念. 其實(shí)這只是表面現(xiàn)象，因?yàn)槿绻麤]有對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解，定義域與值域的理解是沒有太大意義的. 而要對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系有深刻理解，就必須讓學(xué)生結(jié)合具體的實(shí)例去進(jìn)行，這是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生知識(shí)理解的不二法門. 譬如可以通過列舉方程、圖像、表格等方式，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到原來表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的f不是一個(gè)抽象的符號(hào)，而是一個(gè)可以用解析式、圖像、表格、文字等形式描述的，“當(dāng)括號(hào)中的自變量x，全部滿足某個(gè)關(guān)系能夠變成y時(shí)，那就說y是x的函數(shù)”（學(xué)生語），這樣的表達(dá)雖然樸素，但意味著學(xué)生能夠在自己認(rèn)知基礎(chǔ)上，用自己的語言（其實(shí)也是數(shù)學(xué)味道非常濃的語言）將對(duì)函數(shù)的理解表達(dá)了出來. 在筆者看來，這就是有效學(xué)習(xí)，因?yàn)閷W(xué)生在自身認(rèn)知基礎(chǔ)的基礎(chǔ)上，將新學(xué)知識(shí)在自己的語言系統(tǒng)中形成印記，自然就是有效的.

豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)思維表象

高中數(shù)學(xué)的一大特點(diǎn)是抽象，抽象意味著學(xué)生在思維的時(shí)候需要付出更多的努力，盡管我們認(rèn)為是抽象是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，但并不等于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過程就一定得是抽象不可感的. 實(shí)際上，現(xiàn)在的很多學(xué)生在抽象思維能力上表現(xiàn)并不是很突出，因此必要的時(shí)候應(yīng)當(dāng)由形象思維來支撐. 這里需要破除的一個(gè)誤區(qū)是：數(shù)學(xué)教師以自身對(duì)數(shù)學(xué)的感覺去判斷學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，需要知道這是一個(gè)“專家”與“新手”的關(guān)系，機(jī)械地對(duì)比或提要求，只能說是對(duì)學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)與思維特點(diǎn)的漠視，是不可能發(fā)生有效學(xué)習(xí)的. 既然提出用形象思維來支撐數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)尤其是新的、重要的數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，那就必須高度重視表象在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，因?yàn)樾蜗笏季S的加工載體，就是表象.

比如說在教授“函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值、函數(shù)的奇偶性”等知識(shí)時(shí)，教師要對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行精析. 通常情況下，關(guān)于函數(shù)單調(diào)性可以這樣描述：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，區(qū)間D？哿I. 如果對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1

同樣，這樣的表述顯然是不宜直接作為教學(xué)的載體提供給學(xué)生的，而應(yīng)當(dāng)在學(xué)生經(jīng)過充分的形象思考之后，再用數(shù)學(xué)語言描述形象思維無法表達(dá)清楚和透徹的內(nèi)容. 其實(shí)要做到這一點(diǎn)很簡(jiǎn)單，那就是舉一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)的例子，然后借助于該函數(shù)的圖像來幫學(xué)生理解函數(shù)的單調(diào)性. 在相關(guān)的討論中，曾經(jīng)有同行提出不同意見，認(rèn)為在對(duì)函數(shù)的理解中，圖像已經(jīng)做過了分析，學(xué)生應(yīng)該能夠看得出單調(diào)性. 而筆者的觀點(diǎn)是，雖然在此之前，函數(shù)圖像已經(jīng)學(xué)習(xí)過，但彼時(shí)的分析重點(diǎn)在于圖像本身的生成，而非圖像特征. 在學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的時(shí)候，基于圖像進(jìn)行單調(diào)增與單調(diào)減的對(duì)比，進(jìn)而進(jìn)一步明確不同函數(shù)在同一定義域內(nèi)所表現(xiàn)出的單調(diào)性是不同的，認(rèn)識(shí)到同一函數(shù)在不同的定義域之內(nèi)所表現(xiàn)出的單調(diào)性也是不同的，這種形成于大腦之內(nèi)某個(gè)定義域內(nèi)圖像的變化，就是表象，是可以長(zhǎng)時(shí)間存在于學(xué)生的思維當(dāng)中，并為函數(shù)單調(diào)性的理解提供支撐的. 在此基礎(chǔ)上，再讓學(xué)生結(jié)合這一表象去理解上述一段文字，才可以真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)向數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化，這樣的學(xué)習(xí)過程對(duì)于學(xué)生來說才是有效的.

拓寬數(shù)學(xué)知識(shí)與生活聯(lián)系

數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系其實(shí)也是一個(gè)老生常談的問題，但在實(shí)際教學(xué)當(dāng)中卻有這樣的一個(gè)困惑，當(dāng)我們向?qū)W生強(qiáng)調(diào)要將數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系起來時(shí)，要用數(shù)學(xué)的眼光去看生活中的事物（核心素養(yǎng)正有這一方面的要求）時(shí)，學(xué)生常常會(huì)表現(xiàn)出一些疑惑甚至是不屑的表情.后來經(jīng)過進(jìn)一步了解，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生原來是這樣認(rèn)識(shí)的：在他們看來，數(shù)學(xué)就是數(shù)學(xué)，生活就是生活，即便在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)候引用一些生活的例子，也不意味著就需要用數(shù)學(xué)的眼光看生活. 因?yàn)椤皵?shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是用來考試的”……顯然，這樣的認(rèn)識(shí)背后，說明當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)于學(xué)生來說，已經(jīng)形成根深蒂固的服務(wù)于考試的認(rèn)識(shí)，這顯然不是數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的.

于是在教學(xué)中，筆者進(jìn)行了這樣的努力：以“集合”概念的構(gòu)建來說，看似平常的集合概念，只有在滿足了集合中元素的三大特征時(shí)，才算是真正數(shù)學(xué)意義上的集合. 考慮到這一點(diǎn)，筆者向?qū)W生提供了一道例題：

下列對(duì)象中可以構(gòu)成集合的是（ ）

A. 小蘋果 B. 紅橘子

C. 中學(xué)生 D. 約等于0的實(shí)數(shù)

這個(gè)例子中的前三個(gè)選項(xiàng)取材于學(xué)生熟悉的生活，第四個(gè)選項(xiàng)是學(xué)生熟悉的實(shí)數(shù)中的一部分. 而學(xué)生在分析的時(shí)候，其實(shí)還是容易出錯(cuò)的，因?yàn)楸M管題材是熟悉的，而學(xué)生對(duì)集合概念的三要素此時(shí)卻是陌生的，當(dāng)在問題的解決過程中否決了多數(shù)學(xué)生認(rèn)為的D選項(xiàng)，并確定了C選項(xiàng)才是正確選項(xiàng)之后，學(xué)生才知道了集合的“確定性”否決了“約等于0的實(shí)數(shù)”（即其元素不可確定），因而無法構(gòu)成集合.

這種數(shù)學(xué)和生活的勾連，不是簡(jiǎn)單地將數(shù)學(xué)和生活捏合在一起，而是讓生活元素成為數(shù)學(xué)分析的對(duì)象，讓生活世界里的題材服務(wù)于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建，當(dāng)然也可以是讓生活題材成為數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建的“反面素材”. 總之，只要生活題材可以服務(wù)于學(xué)生的數(shù)學(xué)概念的理解與數(shù)學(xué)知識(shí)體系的構(gòu)建，那這個(gè)題材就是可用的！需要注意的是，數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，一定要強(qiáng)調(diào)“聯(lián)系”，而且是基于數(shù)學(xué)的聯(lián)系，很多時(shí)候我們看到新課引入時(shí)用了不少生活素材，這些生活素材看似豐富，其實(shí)與數(shù)學(xué)關(guān)系不夠密切，其很容易讓學(xué)生誤認(rèn)為數(shù)學(xué)與生活就只是這種膚淺的關(guān)系，因而也就容易形成本部分開頭所說的情形.

最后需要指出的是，注意學(xué)生的有效學(xué)習(xí)，還要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)，而且要讓學(xué)生自己認(rèn)識(shí)到自身的學(xué)習(xí)品質(zhì)對(duì)學(xué)習(xí)結(jié)果的影響. 其實(shí)，上述三點(diǎn)本身也能培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)，當(dāng)學(xué)生能夠從中顯性認(rèn)識(shí)到自身的認(rèn)知基礎(chǔ)、思維的形象性以及注重與生活的聯(lián)系時(shí)，學(xué)習(xí)品質(zhì)也就提升了. 而有此認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，那有效學(xué)習(xí)就指日可待了.