數(shù)學(xué)思想在中學(xué)“概率統(tǒng)計(jì)”課程教學(xué)中的運(yùn)用

羅勝云

摘 要：文章以中學(xué)“概率統(tǒng)計(jì)”課程相關(guān)教學(xué)內(nèi)容為研究對象，采用案例式教學(xué)方法闡述了如何在教學(xué)過程中通過數(shù)學(xué)思想的滲透，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的潛能，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成主動發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題的好習(xí)慣，對推動當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革具有一定的參考價值。

關(guān)鍵詞：課程教學(xué)；數(shù)學(xué)思想；“概率統(tǒng)計(jì)”

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 收稿日期：2018-05-02

“概率統(tǒng)計(jì)”的理論與方法目前已滲透到現(xiàn)代生活的方方面面，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、經(jīng)濟(jì)、軍事、科技等諸多領(lǐng)域，同時它又向其他學(xué)科滲透發(fā)展成為交叉學(xué)科。因此，伴隨著新一輪基礎(chǔ)教育課程改革的縱深推進(jìn)，“概率統(tǒng)計(jì)”這門課程的入門知識被納入初等數(shù)學(xué)內(nèi)容體系，國家希望中學(xué)生掌握一定的概率統(tǒng)計(jì)思想，為今后的學(xué)習(xí)和工作打下基礎(chǔ)。

但在教學(xué)實(shí)踐過程中，我們通過長期觀察，發(fā)現(xiàn)當(dāng)前“概率統(tǒng)計(jì)”這門課程的教學(xué)有時竟然變成單調(diào)枯燥的習(xí)題講解。雖然這種授課方式在某種程度上可以提高學(xué)生形式上的邏輯推理能力，但不能引導(dǎo)學(xué)生真正理解并深入思考“概率統(tǒng)計(jì)”課程內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，無法發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性。我們認(rèn)為，一門課程的具體內(nèi)容也許會被學(xué)生遺忘，但如果教師在教學(xué)過程中能夠抓住課程的核心思想，這些精髓將會對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和工作起到潛移默化的作用。

數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識。數(shù)學(xué)思想具有本質(zhì)性、概括性和決定性的意義，因而，可將數(shù)學(xué)思想看作是數(shù)學(xué)的“內(nèi)核”。掌握好了數(shù)學(xué)思想這個內(nèi)核，學(xué)生的思維能力就有了內(nèi)生發(fā)展的原始動力，而思維能力是學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的源泉。在當(dāng)今大眾創(chuàng)業(yè)、萬眾創(chuàng)新的新時代背景下，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力至關(guān)重要，而數(shù)學(xué)思想在教學(xué)過程中的滲透無疑可以對學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng)起到很好的促進(jìn)作用。

一、課程內(nèi)容與教學(xué)目標(biāo)

為有針對性地剖析中學(xué)“概率統(tǒng)計(jì)”課程蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，我們不妨以高中數(shù)學(xué)人教A版（必修三）教材中所包含的教學(xué)內(nèi)容為研究對象，以2017年新課標(biāo)的課程目標(biāo)為教學(xué)目標(biāo)。

教學(xué)內(nèi)容大致包括三部分：第一部分為計(jì)數(shù)原理：加法原理與乘法原理、排列組合、二項(xiàng)式定理；第二部分為統(tǒng)計(jì)：隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體、變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例；第三部分為概率：隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型、離散型隨機(jī)變量及其分布列、超幾何分布、條件概率、獨(dú)立事件與乘法公式、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布、離散型隨機(jī)變量的均值、方差和正態(tài)分布。

課程目標(biāo)：新課程標(biāo)準(zhǔn)由以前的六大課程目標(biāo)調(diào)整為現(xiàn)在的三大課程目標(biāo)：①獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識和應(yīng)用能力；②發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界；③提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神。

二、幾種常見的數(shù)學(xué)思想

為實(shí)現(xiàn)新課標(biāo)的課程目標(biāo)，改變傳統(tǒng)“填鴨式”單向灌輸?shù)慕虒W(xué)方式，實(shí)現(xiàn)從“要我學(xué)”到“我要學(xué)”學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度的轉(zhuǎn)變和從“以教師為中心”到“以學(xué)生為主體”教師角色的轉(zhuǎn)變，下面我們以中學(xué)“概率統(tǒng)計(jì)”課程相關(guān)教學(xué)內(nèi)容為研究對象，闡述如何在教學(xué)過程中通過數(shù)學(xué)思想的滲透，讓學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)思想的魅力。

1.史論思想

任何一門學(xué)科都有它獨(dú)特的發(fā)展歷史，“概率統(tǒng)計(jì)”也是如此。我們只有讓學(xué)生充分了解它的發(fā)展歷史，清醒認(rèn)識它的發(fā)展現(xiàn)狀，才能激勵學(xué)生去探索它的未來。

我國著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家徐利治先生認(rèn)為，數(shù)學(xué)思想發(fā)展史向人們揭示了數(shù)學(xué)創(chuàng)造思想的萌芽、成長、發(fā)展的客觀歷史過程，也反映了數(shù)學(xué)成果的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明、創(chuàng)制的動力、契機(jī)及其增殖發(fā)展的規(guī)律。數(shù)學(xué)思想發(fā)展史匯聚了各種數(shù)學(xué)思想方法，向人們揭示了許多經(jīng)典數(shù)學(xué)成果創(chuàng)造的過程，對拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識起到畫龍點(diǎn)睛的作用。

在中學(xué)“概率統(tǒng)計(jì)”課程教學(xué)過程中適當(dāng)補(bǔ)充一些數(shù)學(xué)思想發(fā)展史的相關(guān)內(nèi)容，可以包括“概率統(tǒng)計(jì)”產(chǎn)生的歷史背景和發(fā)展的主要?dú)v程，以及與內(nèi)容有關(guān)的著名數(shù)學(xué)家和他們的研究成果等。比如，在起初接觸“概率論”這門課程時，教師可以給學(xué)生介紹一下賭金分配問題，以及帕斯卡、費(fèi)馬、惠更斯圍繞這一問題的討論細(xì)節(jié)；介紹“概率論”史上的第一部專著是詹姆斯·伯努利的《推測術(shù)》，它標(biāo)志著數(shù)學(xué)概率論的開端；伯努利大數(shù)定律的出現(xiàn)使以往陷于零碎計(jì)算的概率知識，逐漸形成了一門統(tǒng)一的數(shù)學(xué)理論。在講授統(tǒng)計(jì)部分時，教師可向?qū)W生介紹英國數(shù)學(xué)家貝葉斯提出的貝葉斯方法，開創(chuàng)了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的先河。

這些例子不勝枚舉，在中學(xué)“概率統(tǒng)計(jì)”的課堂教學(xué)過程中，始終貫穿史論的思想可以讓學(xué)生清晰了解這門學(xué)科的發(fā)展歷史脈絡(luò)，同時激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的濃厚興趣，讓學(xué)生積極主動探索思考未知世界。

2.辯證思想

辯證思想指人們通過概念、判斷、推理等思維形式對客觀事物辯證發(fā)展過程的正確反映。辯證思想最基本的特點(diǎn)是將對象作為一個整體，從其內(nèi)在矛盾的運(yùn)動、變化及各個方面的相互聯(lián)系中進(jìn)行考察，以便從本質(zhì)上系統(tǒng)地、完整地認(rèn)識對象。辯證思想最主要的特征有普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)和對立統(tǒng)一的觀點(diǎn)。

（1）普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)。“概率統(tǒng)計(jì)”的知識點(diǎn)比較多，學(xué)生學(xué)起來容易顧此失彼，我們在教學(xué)過程中用普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)向?qū)W生講授知識點(diǎn)之間的關(guān)系，一來可以加深學(xué)生對“概率統(tǒng)計(jì)”這門課程的理解，二來有利于讓學(xué)生的知識點(diǎn)串起來結(jié)成網(wǎng)，形成系統(tǒng)，融會貫通。例如，貝努利分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布之間的聯(lián)系；幾何分布、巴斯卡分布、負(fù)二項(xiàng)分布之間的聯(lián)系；伽瑪分布、卡方分布、指數(shù)分布之間的聯(lián)系；古典概型和幾何概型之間的聯(lián)系；幾何分布與指數(shù)分布都具有無記憶性；二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布、伽瑪分布、卡方分布等都具有參變量的可加性。

（2）對立統(tǒng)一的觀點(diǎn)。“概率統(tǒng)計(jì)”這門課程研究的對象是隨機(jī)現(xiàn)象，隨機(jī)現(xiàn)象的發(fā)生隱含著必然性和偶然性。隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果在多次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中一定會發(fā)生，這其中包含著必然性，但對每一次實(shí)驗(yàn)來說結(jié)果又是不確定的，具有偶然性。這種必然性和偶然性是對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系：必然性存在于偶然性之中，通過偶然性表現(xiàn)出來；偶然性中深藏著必然性，是必然性的表現(xiàn)和補(bǔ)充；兩者相互依存，又在一定條件下相互轉(zhuǎn)化。

隨著“概率統(tǒng)計(jì)”這門課程研究的深入，人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了很多普遍的規(guī)律，但這種普遍的規(guī)律之外也不乏一些特殊的個案。這種普遍性和特殊性也是概率統(tǒng)計(jì)課程對立統(tǒng)一辯證關(guān)系的另一種體現(xiàn)形式。例如，連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù)；兩個和事件的概率為1，一般為對立事件，但也有特殊的例外情形；概率為零的事件不一定是不可能事件。

3.建模思想

一切數(shù)學(xué)概念、公式、數(shù)學(xué)理論體系以及由數(shù)學(xué)概念與符號刻畫出來的某個系統(tǒng)中的關(guān)系結(jié)構(gòu)都可成為數(shù)學(xué)模型。簡單地說，模型思想就是構(gòu)造模型、使用模型的思想方法。在教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生借助模型思想方法解決和研究問題，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步運(yùn)用想象力和創(chuàng)造力構(gòu)建出新模型的能力是十分必要的。

在“概率統(tǒng)計(jì)”中，有很多經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型為我們解決問題提供了一些基本的模式：一是由實(shí)際問題抽象概括出來的具有典型背景的模型；二是為研究實(shí)際問題而建立的實(shí)用模型。

例如，甲、乙約定在下午1時到2時之間到某站乘公共汽車，這段時間內(nèi)有四班公共汽車，它們的開車時刻分別為1：15，1：30，1：45，2：00，如果他們約定：①見車就乘；②最多等一輛車。 求甲、乙同乘一輛車的概率。假定甲、乙兩人到達(dá)車站的時刻是互不牽連的，且每人在1時到2時的任何時刻到達(dá)車站是可能的。

思路分析：這道題的已知條件不滿足古典概率的定義，因?yàn)榧滓覂扇说竭_(dá)的時間t是連續(xù)的，但由于開車的時刻是離散的，故我們可將連續(xù)問題離散化。記第1，2，3，4趟車開車時刻分別為1：15，1：30，1：45，2：00；到達(dá)時間記為狀態(tài)1（乘坐第一趟車，以下類推），到達(dá)時間記為狀態(tài)2，到達(dá)時間記為狀態(tài)3，到達(dá)時間記為狀態(tài)4。記X，Y分別表示甲乙兩人乘坐的公共汽車的車次，則樣本空間中基本事件（X，Y）的組合總數(shù)為42=16。對于第一種見車就乘的情形A1，從圖1不難發(fā)現(xiàn)；對于第二種情形A2，從圖2不難發(fā)現(xiàn)。

點(diǎn) 評：本題采用連續(xù)時間狀態(tài)離散化的方法，將非古典概率的問題轉(zhuǎn)化為古典概率，從而柳暗花明又一村，打破了固定思維的僵局。利用建模的思想，尋找原問題對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型使問題的解答簡潔明朗，思維豁然開朗。

中學(xué)“概率統(tǒng)計(jì)”課程與中學(xué)數(shù)學(xué)其他內(nèi)容比較而言，具有抽象性、復(fù)雜性等特點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來常常感到單調(diào)枯燥，無所適從。如果在教學(xué)過程中，授課教師能夠緊緊抓住數(shù)學(xué)思想這一具有本質(zhì)性、概括性和決定性的內(nèi)在特性，則很容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟迪學(xué)生的創(chuàng)新思維，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，從而達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。

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