例談“分類思想”在一元一次不等式（組）中的運(yùn)用

唐海樹

摘 要：“分類”是一種重要的數(shù)學(xué)思想?！胺诸愃枷搿钡撵`活、適當(dāng)和準(zhǔn)確的應(yīng)用，可以化不等式的難點(diǎn)為易，化抽象為直觀……

關(guān)鍵詞：分類 數(shù)學(xué)思想 一元一次不等式（組） 運(yùn)用

對(duì)當(dāng)前大多數(shù)農(nóng)村初中學(xué)生而言，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差，能力弱已經(jīng)成為一種不可避而不談的趨勢(shì)。本文結(jié)合新課標(biāo)要求，針對(duì)農(nóng)村初中學(xué)生的學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)和基礎(chǔ)，結(jié)合筆者的授課經(jīng)驗(yàn)，用實(shí)例來談一談 “分類思想”在一元一次不等式（組）中的運(yùn)用，以培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思想和意識(shí)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）指出：“分類，是一種重要的數(shù)學(xué)思想。……學(xué)會(huì)分類，可以有助于學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)，有助于分析和解決新的數(shù)學(xué)問題。”可伴隨著升學(xué)和考試的壓力，不少老師在授課中只注重于讓學(xué)生在題海中遨游，而忽視了總結(jié)題目本身所反應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。如此，不但事倍功半，更失去了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心價(jià)值。

一元一次不等式（組）的問題中牽涉到的數(shù)學(xué)思想比較多，如整體思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想等，分類思想在其中占據(jù)重要一席地位。筆者在教授滬科版七年級(jí)數(shù)學(xué)（下）第7章一元一次不等式（組）時(shí)，常發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解決牽涉字母的一元不等式（組）和一元一次不等式（組）的實(shí)際問題時(shí)，或者錯(cuò)誤百出，或者束手無策?，F(xiàn)針對(duì)農(nóng)村初中學(xué)

生的學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)和基礎(chǔ)，結(jié)合筆者的授課經(jīng)驗(yàn)，談一談 “分類思想”在一元一次不等式（組）中的應(yīng)用。

1 巧分類，靈活運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)

不等式的五個(gè)基本性質(zhì)，教學(xué)時(shí)，我是通過類比等式的基本性質(zhì)而引入和講解的。通過比較，得出不等式和等式基本性質(zhì)的異同，體現(xiàn)了類比的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想，有助于學(xué)生的理解。但是，不等式和等式基本性質(zhì)的異同，學(xué)生初學(xué)時(shí)難以熟練的運(yùn)用，然而這個(gè)難點(diǎn)卻是習(xí)題和考卷中的“家常菜”。

例1：比較2a與3a的大小。

對(duì)于農(nóng)村七年級(jí)的學(xué)生而言，看到字母前沒有“-”號(hào)，便認(rèn)為a是正數(shù)，從而錯(cuò)誤的認(rèn)為2a<3a。其實(shí)a是字母，在題目沒有明確說明a的范圍時(shí)，a可以表示任何的實(shí)數(shù)，所以a的取值可能有三種情況：（1）a>0，（2）a=0，（3）a<0，在三種不同的可能取值情況下，因?yàn)?<3已然成立，所以不難得出：（1）當(dāng)a>0時(shí)，2a<3a（2）當(dāng)a=0時(shí)，2a=3a（3）當(dāng)a<0時(shí)，2a>3a。此處分類，價(jià)值有三：（1）體現(xiàn)了用字母表示數(shù)的優(yōu)點(diǎn)；（2）培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維；（3）鞏固學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì)。

2 善分類，能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式組

新課標(biāo)要求：“會(huì)用數(shù)軸確定由兩個(gè)數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式組成的不等式組的解集”。于是，不少出題者在出此類題目時(shí)，總會(huì)設(shè)置一些障礙，以此來考察學(xué)生思維的全面性和解題能力。對(duì)于農(nóng)村中學(xué)生而言，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)決定了其思維的局限性，再加上平時(shí)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的方式有限，訓(xùn)練少，對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解不夠透徹，在遇到這些障礙時(shí)，也會(huì)顯得力不從心，顧此失彼。

例2：已知兩個(gè)代數(shù)式4a+5與2a-1的值符號(hào)相同，求a得取值范圍。

當(dāng)時(shí)我在改作業(yè)中的這題時(shí)，全班70%以上的學(xué)生不會(huì)做，經(jīng)過提示后仍有為數(shù)不少的學(xué)生出現(xiàn)了這種不全面的解題：

圖1 學(xué)生的不完整解答

對(duì)大多數(shù)農(nóng)村學(xué)生而言，缺乏對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，更不善于進(jìn)行分類。

“符號(hào)相同”就意味著“同正”或“同負(fù)”，二者皆可，所以要進(jìn)行分類討論：

或

可以借助數(shù)軸，確定兩個(gè)不等式組的解集分別為，因?yàn)閮煞N情況都有可能，所以a的取值范圍是。

教學(xué)時(shí)，對(duì)于作業(yè)中的出現(xiàn)的問題，我也常把它們先分類，再講解，我認(rèn)為這樣可以幫助學(xué)生更有效的掌握與接受知識(shí)。上述例2 的出現(xiàn)與講解之后，我便將之后作業(yè)中的一個(gè)類似問題讓學(xué)生思考并解答：

例3：如果關(guān)于x，y的方程組，的解同號(hào)，求k的取值范圍。

雖然此時(shí)學(xué)生在對(duì)把方程組的解x，y用含k的代數(shù)式表示時(shí)有困難，但是可喜的是，只要把方程組的解求出的學(xué)生都能正確的列出不等式組，從而借助數(shù)軸求出k的取值范圍是k>3或k<。

通過這兩題的練習(xí)，不僅幫助學(xué)生鞏固復(fù)習(xí)了已學(xué)的數(shù)學(xué)概念，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)計(jì)算能力，更讓學(xué)生樹立了正確思考和分類的數(shù)學(xué)思想和意識(shí)，為進(jìn)一步學(xué)好數(shù)學(xué)奠定了一定的基礎(chǔ)。

3 適時(shí)分類，借助數(shù)軸攻破思維障礙

一元一次不等式這一章，喜歡也習(xí)慣出這樣一種題型：

例4：已知關(guān)于x的不等式只有四個(gè)正整數(shù)解1，2，3，4，那么正數(shù)a的取值范圍是什么？

對(duì)于農(nóng)村初中生而言，本題很抽象，無處入手。如果能適時(shí)分類，并借助數(shù)軸，便能很直觀地解決此類題型。教學(xué)時(shí)，我先讓學(xué)生求出這個(gè)不等式的解集，再讓學(xué)生畫出一條數(shù)軸，并把這個(gè)不等式的四個(gè)正整數(shù)解在數(shù)軸上用點(diǎn)表示出來，接下來，就是將借助數(shù)軸讓分類思想來發(fā)揮作用：若<1，很明顯，原不等式便沒有正整數(shù)解，若，原不等式的正整數(shù)解只有1個(gè)，就是1，不合題意，所以表示數(shù)點(diǎn)一定在表示數(shù)1點(diǎn)的右邊，于是在數(shù)軸上，將表示數(shù)的點(diǎn)繼續(xù)往右移動(dòng)，很直觀的將不正確的范圍一一排除，直到時(shí)，原不等式的解集才包含1，2，3，4，若表示數(shù)的點(diǎn)繼續(xù)往右移動(dòng)，當(dāng)時(shí)，解集依然符合題意，但當(dāng)時(shí)，符合條件的正整數(shù)解便逐漸增多，不止1，2，3，4四個(gè)。綜上分析，可列不等式組因而輕松解出

因?yàn)閿?shù)軸是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的模型，將分類思想和數(shù)軸應(yīng)用于此題的分析與講解，通俗易懂，事半功倍！由此可見，正確的分類是解決一元一次不等式（組）問題的關(guān)鍵。

數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性要求我們的學(xué)生學(xué)習(xí)必需的數(shù)學(xué)，讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，作為重要的一種數(shù)學(xué)模型，一元一次不等式（組）的學(xué)習(xí)和學(xué)好顯得尤為必要。而“分類思想”的靈活、適當(dāng)和準(zhǔn)確的應(yīng)用，可以化不等式的難點(diǎn)為易，化抽象為直觀……，因而，在教學(xué)中我們盡可能地讓每一名學(xué)生都來嗅一嗅“分類思想”這朵盛開之花的芳香！

參考文獻(xiàn)

[1]錢小剛：《例談一元一次不等式（組）中的數(shù)學(xué)思想》，《初中生世界：七年級(jí)》2015年 第6期

[2]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版），北京師范大學(xué)出版集團(tuán)2012年1月第1版，第29，第46頁