施煒

[摘 ?要] 對核心素養(yǎng)及其培育的理解，既需要根據(jù)核心素養(yǎng)的定義進(jìn)行，也需要在傳統(tǒng)的理論中汲取智慧. 知識具有三個要素. 這三個要素分別是符號表征、邏輯形式和意義.學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程，實際上就是通過對數(shù)學(xué)知識的表征形式進(jìn)行加工，理解其中的邏輯關(guān)系，進(jìn)而建構(gòu)意義的過程. 知識的學(xué)習(xí)過程與核心素養(yǎng)培育的過程一致.當(dāng)學(xué)生的學(xué)習(xí)對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行仔細(xì)琢磨，并探究其符號表征方式、內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)以及意義時，深度學(xué)習(xí)其實就已經(jīng)在發(fā)生，其能促進(jìn)核心素養(yǎng)的落地是必然的.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)文化;興趣;質(zhì)疑問難;探究延伸

當(dāng)核心素養(yǎng)成為教師關(guān)注的重點時，一個重要的認(rèn)識應(yīng)當(dāng)是：核心素養(yǎng)的概念不是抽象的，核心素養(yǎng)培育的過程是具體的. 對核心素養(yǎng)及其培育的理解，既需要根據(jù)核心素養(yǎng)的定義進(jìn)行，也需要在傳統(tǒng)的理論中汲取智慧.對于前者想必同行們都比較認(rèn)同，而對于后者可能存在更多的觀點. 實際上，任何一個新的理論都不能完全脫離傳統(tǒng)理論，譬如在對知識的理解中，就涉及核心素養(yǎng)及其培育的諸多細(xì)節(jié).

■高中數(shù)學(xué)教學(xué)視野中對知識的理解

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果談及“數(shù)學(xué)知識”，估計教師的第一反應(yīng)就是數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律. 這種反應(yīng)是正常的，但又是不夠的，在理解數(shù)學(xué)知識的時候，固然要認(rèn)識到數(shù)學(xué)概念和規(guī)律是數(shù)學(xué)學(xué)科課程內(nèi)容的基本組成要素，處于學(xué)科的中心位置，對于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識具有重要的支撐作用，同時又應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到對數(shù)學(xué)知識的理解，應(yīng)當(dāng)置于更為上位的“知識”理解之下.

目前公認(rèn)的觀點是，知識具有三個要素. 這三個要素分別是符號表征、邏輯形式和意義.

符號表征強(qiáng)調(diào)的是知識總是以一定的符號形式表示出來的，譬如集合概念，高中數(shù)學(xué)中常常將集合定義為“一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體”，這種符號是文字符號，除此之外還可以用N、R、Q等特別的符號表示特殊的集合，還有Venn圖也是表示集合的重要符號;知識之間總是存在著邏輯形式的，知識的邏輯形式是人們認(rèn)識世界的重要方式，知識的邏輯形式包括知識的構(gòu)成邏輯和邏輯思維兩個內(nèi)容. 譬如集合概念中用來表示邏輯關(guān)系的屬于、不屬于等，都是表示的邏輯關(guān)系;意義是知識最為關(guān)鍵的內(nèi)核，知識的意義在于促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，實現(xiàn)思想、精神和能力的發(fā)展，知識的意義彰顯著知識與人的發(fā)展之間的一種價值關(guān)系.

由此可以認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程，實際上就是通過對數(shù)學(xué)知識的表征形式進(jìn)行加工，理解其中的邏輯關(guān)系，進(jìn)而建構(gòu)意義的過程. 需要進(jìn)一步形成的理解是：學(xué)生在理解數(shù)學(xué)知識的過程中，要實現(xiàn)思想、精神和能力的發(fā)展，而這一目的與核心素養(yǎng)的目的恰恰是一脈相承的，因為核心素養(yǎng)所追求的就是培育學(xué)生的必備品德與關(guān)鍵能力.很顯然，這里可以得出的一個結(jié)論就是：知識的學(xué)習(xí)過程確實與核心素養(yǎng)培育的過程是一致的，而從知識的三要素角度去解讀數(shù)學(xué)教學(xué)過程，則更利于設(shè)計出一個核心素養(yǎng)培育的過程.

■基于知識“三要素”的核心素養(yǎng)培育

既然形成了如上理解，那具體的基于知識三要素去培育數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的過程應(yīng)當(dāng)是怎樣的呢？從當(dāng)前的高中教學(xué)實際出發(fā)，筆者以為要辯證地看待傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識理解以及三要素視角下的知識理解. 從傳統(tǒng)認(rèn)識論立場看待數(shù)學(xué)課程知識，認(rèn)為數(shù)學(xué)知識就是數(shù)學(xué)概念、公理、原理、公式、命題的總和，其易導(dǎo)致數(shù)學(xué)知識教育的機(jī)械化和工具化（但客觀上確實能夠提高學(xué)生的解題能力）.從教育立場看數(shù)學(xué)課程知識，數(shù)學(xué)知識價值不僅包含科學(xué)價值更包含人文價值，認(rèn)識到其結(jié)構(gòu)由符號表征、邏輯形式和意義系統(tǒng)等三個方面組成，那實際教學(xué)就可以分為兩個層次：第一個層次就是應(yīng)試視角下的數(shù)學(xué)知識教學(xué)，其目的在于讓學(xué)生迅速地記住數(shù)學(xué)知識或規(guī)律;第二個層次就是在學(xué)生初步掌握了數(shù)學(xué)知識之后，結(jié)合分析、綜合與反思的方法，走進(jìn)數(shù)學(xué)知識背后的核心素養(yǎng)培育空間. 例如，函數(shù)的概念教學(xué)中，先讓學(xué)生掌握函數(shù)的定義——一般的設(shè)A、B是兩個非空數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫作從A到B的一個函數(shù)，記作：y=f（x），x∈A.

在學(xué)生掌握了定義之后，面向?qū)W生提出一個問題：如果用你自己的語言來描述函數(shù)的概念，你會如何描述呢？這個問題實際上同時指向知識的符號表征與邏輯形式兩個要素. 讓學(xué)生用自己的語言去描述，實際上就是讓學(xué)生用自己符號系統(tǒng)中的符號去描述，這個描述的過程必然要講究邏輯，即函數(shù)定義中的對應(yīng)法則、單值對應(yīng)等. 從學(xué)習(xí)心理的角度來看，學(xué)生用自己的語言去描述一個數(shù)學(xué)概念，必然對應(yīng)著精加工過程，這個過程最大的好處就是可以加深學(xué)生的記憶與理解. 由于不同學(xué)生的符號系統(tǒng)是不一樣的，因此不同學(xué)生所說出來的語言往往也是有所差別的.這種差別是進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，讓學(xué)生在小組合作的過程中交流自己的觀點，實際上也就是不同符號系統(tǒng)中的符號進(jìn)行碰撞，最終判斷正確與錯誤的依據(jù)，正是符號背后的邏輯.

有了這樣的一個過程，也就有了意義建構(gòu)的過程.通常情況下，學(xué)生通過合作交流都會發(fā)現(xiàn)，課本上所給出的定義是語言（符號）最為簡潔、邏輯最為正確、意義最為準(zhǔn)確的方式.從有效學(xué)習(xí)的角度來看，這樣的一個過程看似花費時間，其實這個時間是花得值的，因為在這個時間中，學(xué)生對函數(shù)概念的理解會達(dá)到傳統(tǒng)教學(xué)所無法企及的深度. 觀察學(xué)生的自主思考與小組合作可以發(fā)現(xiàn)，在用自己的語言描述函數(shù)概念的時候，常常會結(jié)合一些例子來進(jìn)行. 從實例到概念有著數(shù)學(xué)抽象的空間，判斷自己的語言是否符合原定義的含義，有著邏輯推理的空間，通過精加工形成的函數(shù)認(rèn)識，實際上正是一個建模過程. 因此這樣的過程，是一個實實在在的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的過程.

■有效的知識教學(xué)應(yīng)當(dāng)指向“深度學(xué)習(xí)”

在討論核心素養(yǎng)落地的時候，有一個概念常常被同行提起，這個概念就是深度學(xué)習(xí). 很多人認(rèn)為深度學(xué)習(xí)就是加深學(xué)習(xí)的難度，去到達(dá)一個深度.這樣的理解或許有一定的道理，但肯定不是深度學(xué)習(xí)的真正含義.

固然要認(rèn)識到實現(xiàn)教學(xué)的豐富價值，必須由表層的符號教學(xué)走向深度教學(xué). 但是更需要認(rèn)識到深度學(xué)習(xí)與知識的三要素之間有著密切的關(guān)系，其實從上面的論述可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)對高中數(shù)學(xué)知識的教學(xué)超越了應(yīng)試層面，當(dāng)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念以及規(guī)律的理解不是在習(xí)題重復(fù)中進(jìn)行時，當(dāng)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)入了對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行仔細(xì)琢磨，并探究其符號表征方式、內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)以及意義時，深度學(xué)習(xí)其實就已經(jīng)在發(fā)生，從這個角度講，其能促進(jìn)核心素養(yǎng)的落地是必然的.

總之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要站立在知識三要素的理解基礎(chǔ)之上，這樣不僅能夠促進(jìn)自身對數(shù)學(xué)教學(xué)的理解，也能夠?qū)⒑诵乃仞B(yǎng)更好地融入日常的教學(xué)，從而實現(xiàn)應(yīng)試與教學(xué)改革的兩不誤.