【摘 要】 對數(shù)函數(shù)新舊教材擦差異較大,要全面理解對數(shù)函數(shù),要先分析新舊教材的差異,然后聚焦到“對數(shù)函數(shù)的概念”,最后思考面對新的變化我們的教學該怎么辦.
【關鍵詞】 教材解讀;教材比較;對數(shù)函數(shù)
對數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學核心內容之一,也是高一學生學習難點之一,同時對數(shù)函數(shù)也是連接初等數(shù)學與高等數(shù)學的一個紐帶,因此理解對數(shù)函數(shù)、教好對數(shù)函數(shù)非常有必要.
在人教A版舊教材[1](依據(jù)2003年版課程標準編寫的教材)中,對數(shù)函數(shù)安排在必修1第二章第二節(jié)(2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質),在新教材[2](依據(jù)2017年版課程標準編寫的教材)中,對數(shù)函數(shù)安排在必修第一冊第四章第四節(jié)(4.4對數(shù)函數(shù)),都是高一學習的內容.新舊教材編寫差異較大,最顯著的差異是新教材“對數(shù)函數(shù)的概念”單獨成一節(jié),筆者將對這一內容做出解讀,以便全面深入地理解對數(shù)函數(shù)這一核心內容.
1 “對數(shù)函數(shù)”新舊教材差異
對數(shù)函數(shù)新舊教材編寫差異,包括編寫理念、內容的安排、編寫的順序,素材的選取,例題習題的安排等,差異都很大.本文不面面俱到地研究這些差異,只從以下三個視角對兩者做一個比較,以點帶面,旨在幫助大家整體地理解對數(shù)函數(shù).
1.1 教材編排:一節(jié)VS三節(jié)
在舊教材中,對數(shù)函數(shù)分為兩部分:“2.2.1對數(shù)與對數(shù)運算”和“2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質”,其中對數(shù)與對數(shù)運算對應新教材“4.3對數(shù)”(本文不研究這塊內容的比較).“2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質”介紹了對數(shù)函數(shù)的概念,對數(shù)函數(shù)的圖象與性質.在它之后是冪函數(shù).
在新教材中,“4.4對數(shù)函數(shù)”安排了三節(jié):4.4.1對數(shù)函數(shù)的概念,4.4.2對數(shù)函數(shù)的圖象與性質,4.4.3不同函數(shù)的增長差異.
4.4.1對數(shù)函數(shù)的概念是新教材新增加的,也是本文將重點解讀的部分.
4.4.2對數(shù)函數(shù)及其性質,內容編寫與舊教材差別不大,都是先研究具體的函數(shù)y=log2x與y=log12x,并由此歸納出一般的對數(shù)函數(shù)的圖象與性質,然后是應用,最后介紹了指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù).
4.4.3不同函數(shù)的增長差異,新舊教材都有,但差異很大.在舊教材中,它出現(xiàn)在3.2節(jié),與對數(shù)函數(shù)不是在同一章.對幾種不同增長的函數(shù)模型的認識是與應用聯(lián)系在一起的,通過具體的實例,通過數(shù)學建模,體會各種模型的增長速度的快慢.在新教材中,是通過具體的函數(shù)y=2x與函數(shù)y=2x以及y=110x與y=lgx的比較,先感性認識各種模型的增長速度的快慢,再概括出相應的一類函數(shù)的增長快慢.新舊教材相比而言,筆者認為新教材更精簡,更符合學生的認知規(guī)律,更利于掌握不同函數(shù)的增長差異這一內容.
1.2 對數(shù)函數(shù)的概念:一段VS一節(jié)
新教材新增了一節(jié)“對數(shù)函數(shù)的概念”,這是占一個課時的內容,應引起了重視.
概念的引入,新舊教材利用的素材是相同的,都是“碳14衰減的例題”,但是兩者詳略程度是不可同日而語的.
舊教材在介紹對數(shù)函數(shù)概念時,只是用了一段話就引出了對數(shù)函數(shù)的概念,接著是探究對數(shù)函數(shù)的圖象與性質.
新教材在介紹對數(shù)函數(shù)概念時,用了一節(jié)內容,在呈現(xiàn)碳14衰減規(guī)律后,從圖象、表達式兩個角度進行分析,從而抽象出對數(shù)函數(shù)的概念.在揭示概念之后,安排了兩個例題,例題1是求函數(shù)的定義域,例題2是從指數(shù)和對數(shù)兩個角度解決物價增長問題.在這之后,才探討對數(shù)函數(shù)的圖象與性質.
1.3 內容核心:單核心VS雙核心
我們對概念的解構是為了確定概念的核心,確定概念的核心既要考慮數(shù)學內容本身,也要考慮學生的認知規(guī)律[3].從數(shù)學內容的知識體系看,對數(shù)的概念,圖象與性質都是重要的內容,都是對數(shù)函數(shù)這一內容的核心所在.在舊教材中,對數(shù)的概念以及圖象與性質,是在同一節(jié)課內進行的,教學時自然有所側重;從學生的認知看,他們接受這兩個內容也是有側重的,顯而易見,無論是教師還是學生都會把重點放在圖象與性質上.所以可以說,舊教材“對數(shù)函數(shù)”內容的核心實際上只有一個:圖象與性質.
而新教材就不同了,對數(shù)函數(shù)的概念單獨成節(jié).所以“對數(shù)函數(shù)的概念”是內容的核心,而圖象與性質是理所當然的核心,所以,可以說新教材“對數(shù)函數(shù)”內容的核心有兩個:一是對數(shù)函數(shù)的概念,二是對數(shù)函數(shù)的圖象與性質.
新教材將內容確定為兩核心,強調了概念的獲得過程.在碳14衰減實例的基礎上,進一步對生物體死亡時間進行探究,通過演繹推理的方法得到生物體死亡時間與碳14含量的關系,進而抽象出對數(shù)函數(shù)的概念,關注了對學生數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)的培養(yǎng).
2 “對數(shù)函數(shù)的概念”逐段解讀
2.1 節(jié)引言
解讀 節(jié)引言有承前啟后的作用,它聚焦到學生的學習最近發(fā)展區(qū),前面學習的指數(shù)函數(shù)模型以及對數(shù),為后面學習對數(shù)函數(shù)做了數(shù)學上的準備.這里有一個提示作用,即將學習的內容與“函數(shù)”有關且與“對數(shù)”有關,是兩者結合的“對數(shù)函數(shù)”.
2.2 概念的獲得
解讀 數(shù)學課程標準指出:“數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象,基于抽象結構,通過符號運算、形式推理、模型構建等,理解和表達現(xiàn)實世界事物的本質、關系和規(guī)律” [4],教材期望通過這一思考問題,提升對這段話的理解.對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)可以從不同的角度刻畫同一問題的變化規(guī)律,在碳14 的衰減問題中,死亡生物體碳14含量隨時間變化成指數(shù)衰減,這是上一節(jié)研究過的問題.教科書給出的思考是,已知死亡生物體內碳14含量求時間,這與前一節(jié)的問題是“互逆”的,這樣不僅可以引出對數(shù)函數(shù)的概念,而且揭示了對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系.
教科書沒有到此為止,而是進一步提出問題,死亡時間x是碳14含量y的函數(shù)嗎?這是用函數(shù)的觀點看問題,實際上只要是兩個變量之間有依賴關系,我們都要考慮他們之間的函數(shù)關系.
根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關系,由y=[SX(]1[]2[SX)][JB))][SX(]x[]5730[SX)](x≥0)得到x=log[KF(S]5730[][SX(]1[]2[SX)][KF)]y(0 解讀 問題提出后,教材從圖和代數(shù)式兩個角度進行研究.圖是直觀的,代數(shù)式是形式化的,也是我們數(shù)學研究的最高追求.要研究出函數(shù)的表達式,也就是,要對定性的結果用定量的方式表達. 這里的圖是指數(shù)函數(shù)的圖,教學時教師可以給學生呈現(xiàn)這張圖,進而提出問題: 問題1:當碳14的含量為50%時,生物體死亡了多少年? 問題2:當碳14的含量為y0時,生物體死亡了多少年? 在學生求出x0=log573012y0后,請他們在圖中標出. 問題3:圖4.41中,x是否是y的函數(shù)?為什么? 學生回答“是”,需要他們用函數(shù)定義回答. 通過3個問題,不僅明晰了y∈(0,1)時,對應關系x=log573012y表示x是y的函數(shù),而且該函數(shù)刻畫了時間x與碳14含量y的變化規(guī)律,很好地回答了思考的兩個問題. 同時,我們注意到對數(shù)函數(shù)的概念引出與指數(shù)函數(shù)是不同的,指數(shù)函數(shù)的概念是用歸納推理的方式得到,而對數(shù)函數(shù)是用演繹推理的方式得到.歸納、類比與演繹推理是“邏輯推理”核心素養(yǎng)的兩種表現(xiàn)形式,兩方面都不可偏頗. 同樣地,根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關系,由y=ax(a>0),且a≠1)可以得到x=logay(a>0,且a≠1),x與是y的函數(shù).通常,我們用x表示自變量,y表示函數(shù).為此,將x=logay(a>0,且a≠1)中的字母x和y對調,寫成y=logax(a>0,且a≠1). 解讀 接著,由特殊到一般,由一般的指數(shù)函數(shù)y=ax得到x=logay.這里要讓學生再用函數(shù)的定義解釋:y>0,對應關系x=logay表示x是否是y的函數(shù),以進一步理解函數(shù)的本質:即兩個數(shù)集之間的一種特殊的對應關系.指數(shù)函數(shù)的對應關系是f:x→ax,對數(shù)函數(shù)的對應關系是f:x→logax. 通常,我們用x表述自變量,用y表述函數(shù),這是我們的習慣,為了研究方便,所以寫成對數(shù)式子后,將x和y對調. 另一個問題是,到這里“反函數(shù)”的概念呼之欲出,要不要順便講述?筆者認為,這時不應講反函數(shù),原因有兩點,其一,我們研究問題要聚焦,我們的目標是引出對數(shù)函數(shù)的概念,而不是反函數(shù);其二,如果這時講反函數(shù)的概念,從學生的認知角度看,反函數(shù)更有沖擊力,這樣反而弱化了對數(shù)函數(shù)的概念. 教材處理問題的線索是:直觀想象——形式表達——數(shù)學抽象.這是解決實際問題的需要,但是我們數(shù)學解決的是比實際問題需要更一般的函數(shù),這也是挖掘內容的育人價值所在. 一般地,函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)(logarithmic function),其中x的自變量,定義域是(0,+∞). 解讀 抽象出對數(shù)函數(shù)的概念后,需要對概念進行辨別.概念教學通常有六個環(huán)節(jié):情景問題——分析共性——抽象概念——概念辨析(內涵與外延的把握)——概念的表述——鞏固與應用(應用是分層次的,有直接的應用和有聯(lián)系應用)[5].對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)一樣,都是形式化定義,形式化定義應關注其代數(shù)式結構.筆者認為,對形式化定義的概念的辨別要適可而止,不能將之當成教學的重點,比如“y=log2(2x+3)是不是對數(shù)函數(shù)?”這種辨別意義不大. 我們要將教學的重心放在函數(shù)的三要素上,用一般函數(shù)的概念指導具體一類函數(shù)的學習,即在一般函數(shù)概念的指導下,借助冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的研究經(jīng)驗,完成對對數(shù)函數(shù)的概念的抽象. 2.3 例題 例1 求下列函數(shù)的定義域:(1)y=log3x2;(2)y=loga(4-x)(a>0,且a≠1). 解讀 例1求函數(shù)的定義域,這就是從函數(shù)的三要素上做文章,用一般的函數(shù)的概念指導具體一類函數(shù)的學習. 另一個問題是,如何講例題?教材主編章建躍先生曾提出:“例題教學不是簡單的教師示范,然后學生模仿.而是要引導學生‘分析題意、理解題意、你們干,我來看”,即教師要理解教材的意圖,通過引導學生分析題意,進而理解題意,分析清楚后讓學生自己動手去做. 例2 假設某地初始物價為1,每年以5%的增長率遞增,經(jīng)過y年后的物價為x.(1)該地的物價經(jīng)過幾年后會翻一番?(2)填寫下表,并根據(jù)表中的數(shù)據(jù),說明該地物價的變化規(guī)律. 解讀 例2用對數(shù)函數(shù)的概念解決實際問題,從指數(shù)增長模型x=(1+5%)y得到對數(shù)函數(shù)y=log1.05x,蘊含了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系.同時,這里也隱含著不同增長函數(shù)模型的比較,這也是用聯(lián)系的觀點看問題. 另一個需要注意的是數(shù)學語言的表達,題中給出的是表格,如何從表格中看出規(guī)律?“物價隨時間的增長而增長”這句話學生能回答出來,但是后一句話“大約每增加1倍所需要的時間在逐漸縮小”,學生很難清晰的表達出來. 3.1 用聯(lián)系的觀點看問題 教學設計要瞻前顧后,就是要用聯(lián)系的觀點看問題.數(shù)學課程標準主題式的內容編排就是強調聯(lián)系,強調從整體上把握教學內容.實際上,新課程所提倡的單元教學設計,也是這個意思. 為了整體上把握對數(shù)函數(shù)的概念,教學時可以從兩個方面入手. 一是關注對數(shù)函數(shù)的內部聯(lián)系,即從整體上認識對數(shù)函數(shù).對數(shù)函數(shù)的解析式、定義域、值域、圖象與性質等是一個有機的整體,教學時不可分割. 二是關注對數(shù)函數(shù)的外部聯(lián)系,即加強對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系.教科書是在研究了指數(shù)冪、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)的表示與運算的基礎上研究對數(shù)函數(shù)的.引入對數(shù)函數(shù)的實例,也是學習指數(shù)函數(shù)的例子,這是從不同的角度看同一個問題,體現(xiàn)了聯(lián)系性.另外,在下一節(jié)內容不同增長函數(shù)模型的比較,也是用聯(lián)系的觀點看問題.3.2 用函數(shù)的觀點看問題 函數(shù)是高中數(shù)學的主線,在前面的學習中,學生對函數(shù)的思想有較多的感受,但是真正理解函數(shù)思想?yún)s是一個漫長的過程[6],這需要在平時教學中不斷的滲透. 就本節(jié)教學而言,讓學生學會用函數(shù)的觀點看問題,可以從三個方面入手: 其一,在提出思考問題“死亡時間x是碳14含量y的函數(shù)嗎?”后,從圖和解析式兩個角度說明x是y的函數(shù),這里要求學生用函數(shù)的定義做出判斷,這是以一般函數(shù)的概念來指導具體函數(shù)的學習. 其二,例題1求定義域,是關注的函數(shù)的三要素,這是從不同的角度把握對數(shù)函數(shù). 其三,教材中,對數(shù)函數(shù)的編排線索是“背景——概念——圖象和性質——應用”,我們在教學時應按照這一線索展開教學,應強調一般函數(shù)的研究套路.3.3 關注數(shù)學的語言表達 數(shù)學是一門語言,學好數(shù)學語言,用好數(shù)學語言是我們在教學中要下功夫的地方.本節(jié)而言,對數(shù)學語言的使用有兩處要特別關注:其一,在對數(shù)函數(shù)的概念引入時,從指數(shù)函數(shù)y=ax得到x=logay時,將x和y對調.這是為了研究方便,適合我們的習慣而采取的措施,這體現(xiàn)了語言使用的特點.其二,例題2的教學,從表格中的數(shù)據(jù)歸納變化規(guī)律時,對于數(shù)學的精確與實際問題的解決的表述,這種表述要求較高,在教學時應特別重視.如此才能真正感受數(shù)學是表達和交流的語言,引導學生用數(shù)學的語言表述世界. 參考文獻 [1] 劉邵學,章建躍等.普通高中教科書數(shù)學必修[M].北京:北人民教育出版社,2019. [2] 章建躍等.普通高中教科書數(shù)學必修第一冊[M].北京:北人民教育出版社,2019. [3] 朱成萬.中學數(shù)學核心內容的教學解構與建構[M].北京:中國經(jīng)濟出版社,2015. [4] 教育部.普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018. [5] 曹才翰,章建躍.中學數(shù)學教學概論(第二版)[M].北京:北京師范大學出版社,2008. [6] 章建躍等.普通高中教科書數(shù)學必修第一冊(教師教學用書)[M].北京:北人民教育出版社,2019. 作者簡介 朱成萬(1973—),男,安徽太湖人,高級教師,人民教育出版社教材培訓專家,杭州市131培養(yǎng)人才,專著有《高中數(shù)學核心內容的教學解構與建構》,編著《至精至簡的高中數(shù)學思想與方法》,發(fā)表或獲獎論文90余篇,研究方向:數(shù)學教學.