王春燕

摘 ?要：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六下“圓錐的體積”一課，側(cè)重體積公式的探究及推導(dǎo)，在觀察對(duì)比圓柱及圓錐特點(diǎn)、兩者聯(lián)系建立、猜想提出、方案設(shè)計(jì)及動(dòng)手實(shí)踐基礎(chǔ)上，可得到圓錐體積計(jì)算公式，是滋養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)靈性典型案例。基于此，文章以“圓錐的體積”一課為例，在引學(xué)生源頭活水的同時(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)活動(dòng)由淺顯至深刻，從而有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)及數(shù)學(xué)思維。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);圓錐的體積;數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)為個(gè)性化、生動(dòng)性過(guò)程，為增強(qiáng)學(xué)生核心素養(yǎng)提供足夠支撐。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六下“圓錐的體積”一課編排于圓柱內(nèi)容后，此時(shí)學(xué)生已了解圓柱體積推導(dǎo)的過(guò)程，而圓錐體積的推導(dǎo)過(guò)程遵循問(wèn)題提出、經(jīng)驗(yàn)喚醒、聯(lián)系建立、操作實(shí)驗(yàn)、公式推導(dǎo)及公式應(yīng)用原則，具備系統(tǒng)性及完整性。因此，教師在開(kāi)展此課教學(xué)時(shí)，應(yīng)以學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)為源頭活水，在遵循圓錐體積公式推導(dǎo)原則基礎(chǔ)之上融入數(shù)學(xué)思想，科學(xué)開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生深入探索數(shù)學(xué)奧秘。

一、引源頭活水原則

（一）創(chuàng)新性

為提高源頭活水引流效果，有效滋養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)靈性，教師需將數(shù)學(xué)思想巧妙滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中，以增強(qiáng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣及欲望，幫助其進(jìn)行多元化活動(dòng)，并在實(shí)踐中保持足夠能動(dòng)性，為高效開(kāi)展實(shí)踐性、創(chuàng)新性活動(dòng)提供有力保障。鑒于此，教師需充分遵循創(chuàng)新性的原則，不斷優(yōu)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的模式，使其更為全面、新穎及豐富，以增強(qiáng)數(shù)學(xué)競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)，讓學(xué)生能科學(xué)性、高質(zhì)量進(jìn)行探索學(xué)習(xí)。引源頭活水創(chuàng)新性的原則旨在讓學(xué)生通過(guò)接觸新穎、前沿?cái)?shù)學(xué)思想，能增強(qiáng)探究的動(dòng)力和實(shí)踐的技能，為快速融入知識(shí)探索中提供有力保障。

（二）創(chuàng)造性

在引源頭活水時(shí)，教師應(yīng)遵循創(chuàng)造性的原則，讓學(xué)生能在探索理論知識(shí)過(guò)程中形成數(shù)學(xué)的思想，從而增強(qiáng)理論技能及實(shí)踐技能。通過(guò)遵循創(chuàng)造性的原則，可讓學(xué)生在實(shí)踐中培養(yǎng)解題的技能，為其快速掌握學(xué)習(xí)技巧及方法搭建平臺(tái)，使其能真正認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)架構(gòu)與形態(tài)，為進(jìn)行高效教學(xué)、創(chuàng)新指導(dǎo)提供支撐。另外，在引源頭活水時(shí)，教師應(yīng)從學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)際特點(diǎn)出發(fā)，激發(fā)學(xué)生知識(shí)探索動(dòng)力，全面開(kāi)展創(chuàng)新活動(dòng)，讓其能多角度、多層面應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，充分凸顯數(shù)學(xué)靈性滋養(yǎng)成效。

（三）綜合性

在開(kāi)展教學(xué)工作時(shí)，教師應(yīng)在結(jié)合數(shù)學(xué)本質(zhì)特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，科學(xué)進(jìn)行源頭活水引流活動(dòng)，讓學(xué)生能在教師幫助及引導(dǎo)下，逐步增強(qiáng)思維意識(shí)及數(shù)學(xué)邏輯，充分彰顯數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)靈性培養(yǎng)中的重要意義。因此，教師需本著綜合性的原則，利用多元數(shù)學(xué)元素喚醒學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，讓其意識(shí)到思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵作用，為不斷延伸教學(xué)活動(dòng)深度及廣度奠定基礎(chǔ)，從而全面拓寬學(xué)生思維、強(qiáng)化學(xué)生技能。

二、數(shù)學(xué)思想在滋養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)靈性中的重要作用

（一）滲透小學(xué)數(shù)學(xué)概念

在進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)活動(dòng)時(shí)，教師應(yīng)將數(shù)學(xué)思想有效滲透到其中，以幫助學(xué)生充分理解數(shù)學(xué)的概念，強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念掌握程度，為增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)靈性、開(kāi)展豐富探索活動(dòng)提供有力保障。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，小學(xué)生極易受外界因素影響，而出現(xiàn)學(xué)習(xí)能力降低的現(xiàn)象，最終無(wú)法提升教學(xué)水平。鑒于此，在滋養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)靈性時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣及數(shù)學(xué)概念消化吸收能力，培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用及掌握技能，是增強(qiáng)知識(shí)創(chuàng)新性、提升學(xué)生核心素養(yǎng)有效途徑。

（二）培養(yǎng)學(xué)生反思能力

小學(xué)生處在發(fā)展、提升思維意識(shí)關(guān)鍵階段，因此在數(shù)學(xué)靈性滋養(yǎng)中融入數(shù)學(xué)的思想，可強(qiáng)化學(xué)生探索的意識(shí)，讓其在多樣化指導(dǎo)下意識(shí)到自身學(xué)習(xí)問(wèn)題，提升自身反思的能力，為增強(qiáng)解題能力、提高數(shù)學(xué)認(rèn)知提供指引。因此，教師應(yīng)注重借助數(shù)學(xué)思想來(lái)培養(yǎng)、鍛煉學(xué)生反思的能力，從而不斷增強(qiáng)其數(shù)學(xué)靈性。

三、“圓錐的體積”教學(xué)前議

經(jīng)仔細(xì)閱讀人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材可發(fā)現(xiàn)，在對(duì)圓錐體積推導(dǎo)內(nèi)容編排時(shí)，學(xué)生可能明顯有先入為主感覺(jué)，圓柱和圓錐聯(lián)系、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)似乎均源于教材的編者，而非在遴選甄別、思維碰撞中獲得。因此，在教學(xué)時(shí)，倘若教師平鋪直敘、不加思考走完教材流程，則學(xué)生無(wú)法深入認(rèn)知圓錐體積，所獲取數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)勢(shì)必空洞。雖然教材經(jīng)深思熟慮方如此編排，以此兼顧大多學(xué)生情況，在教學(xué)方面承載著普遍性、一般性建議，但就小學(xué)階段學(xué)生而言，應(yīng)是在探究中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題之后才逐步了解實(shí)驗(yàn)對(duì)象明確、器材優(yōu)化及探究方法確立等。鑒于此，在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)思想、豐富學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)及發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)情感，對(duì)滋養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)靈性尤為重要。

就整體層面而言，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下“圓錐的體積”一課應(yīng)以觀察猜想及方案制訂為出發(fā)點(diǎn)，在帶領(lǐng)學(xué)生探究實(shí)驗(yàn)和推導(dǎo)公式的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)其主動(dòng)探究、合作、質(zhì)疑，從而親身經(jīng)歷圓錐體積完整學(xué)習(xí)的過(guò)程。第一，教師需引導(dǎo)學(xué)生深入思考圓錐體積學(xué)習(xí)原因。數(shù)學(xué)的知識(shí)源自生活也運(yùn)用在生活中，因此需引導(dǎo)學(xué)生明白圓錐體積學(xué)習(xí)目的在于滿(mǎn)足生產(chǎn)及生活需求。第二，教師需讓學(xué)生自主選擇教學(xué)的關(guān)系。在開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，教師需對(duì)學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)展示出足夠尊重，讓其能主動(dòng)去回憶及聯(lián)想正方體、長(zhǎng)方體和圓柱體積探究的過(guò)程，幫助其喚醒已有的經(jīng)驗(yàn)，深刻體會(huì)到轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)思想中的重要性。通過(guò)已有經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生已能從已有知識(shí)中自然搜索和圓錐相關(guān)圖形，即圓柱，可見(jiàn)學(xué)生已在腦海中建立了很多的數(shù)學(xué)知識(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)其去自主發(fā)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識(shí)存在的密切關(guān)系。第三，教師需讓學(xué)生自主分析數(shù)學(xué)關(guān)系。在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生選擇需要的實(shí)驗(yàn)儀器及工具，讓其能感受變量控制意義，明白“圓錐的體積”一課中選擇等底等高圓柱及圓錐進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的原因，讓其在歷經(jīng)選擇、推理、質(zhì)疑及驗(yàn)證等過(guò)程中，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)中一般、特殊存在關(guān)系，并通過(guò)思辨逐步積累理性分析經(jīng)驗(yàn)。第四，教師需讓學(xué)生自主探究體積計(jì)算的方法。教師需鼓勵(lì)學(xué)生勇于探索圓錐體積計(jì)算的公式，自主設(shè)計(jì)方案驗(yàn)證圓柱、圓錐存在關(guān)系，進(jìn)而得出正確公式。在此過(guò)程中，學(xué)生不僅積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，而且能在合二為一思考圓錐公式數(shù)及圓錐形的過(guò)程中，充分發(fā)展數(shù)學(xué)思維，從而能夠?qū)哟涡?、立體化、動(dòng)態(tài)化認(rèn)知圓錐體積。第五，教師需鼓勵(lì)學(xué)生回顧探究的過(guò)程。就小學(xué)六年級(jí)學(xué)生而言，能用自身語(yǔ)言表達(dá)清楚數(shù)學(xué)探究的結(jié)論極為重要，尤其是學(xué)習(xí)了面積及體積之后，進(jìn)行完整回顧及總結(jié)有明顯必要性，不僅能加深學(xué)生對(duì)當(dāng)堂知識(shí)的理解程度，而且能有效滲透數(shù)學(xué)的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的探究品質(zhì)。

四、“圓錐的體積”教學(xué)剖析

（一）導(dǎo)入情境，喚醒學(xué)生經(jīng)驗(yàn)

第一，向?qū)W生展示圓錐形沙堆。教師問(wèn)：“在一處建筑工地，有一堆圓錐形沙堆，你知道其中沙子有多少m3嗎？多少m3沙子求的是什么呢？今天我們將一起探究圓錐體積。”第二，提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考。教師問(wèn)：“在此之前，關(guān)于立體圖形體積，你知道多少呢？”學(xué)生將會(huì)回答出正方體、長(zhǎng)方體及圓柱等。第三，引導(dǎo)學(xué)生回憶圓柱的體積公式推導(dǎo)，通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示的方式，喚醒學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，并引導(dǎo)其進(jìn)行轉(zhuǎn)化。第四，轉(zhuǎn)化前后關(guān)系回憶，重點(diǎn)包括等高、等底等，并提出問(wèn)題。教師問(wèn)：“長(zhǎng)方體在轉(zhuǎn)化后，和圓柱存在哪些相等關(guān)系呢？”學(xué)生答：“兩者的高相等、面積也相等，長(zhǎng)方體寬和圓柱底面半徑相等，長(zhǎng)方體長(zhǎng)為圓柱底面的一半周長(zhǎng)?！蓖ㄟ^(guò)這樣的方式，帶領(lǐng)學(xué)生重點(diǎn)回憶圓柱體積推導(dǎo)的過(guò)程，讓其在聯(lián)系轉(zhuǎn)化前后關(guān)系的同時(shí)，明白轉(zhuǎn)化這一數(shù)學(xué)思想，并喚醒對(duì)應(yīng)經(jīng)驗(yàn)，為本課新知探究奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

（二）操作實(shí)驗(yàn)，探究本課新知

第一，教師準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)，由教師選擇實(shí)驗(yàn)的儀器并預(yù)做實(shí)驗(yàn)，以此降低數(shù)據(jù)誤差可能性。1. 儀器。選擇厚度適中、材質(zhì)一樣和形狀標(biāo)準(zhǔn)的等高等底圓柱容器及圓錐容器，當(dāng)操作前，引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題：“儀器差異為什么會(huì)造成不一樣的后果？”2. 預(yù)做。教師進(jìn)行數(shù)次實(shí)驗(yàn)預(yù)做工作，并以實(shí)驗(yàn)結(jié)果為依據(jù)，預(yù)估學(xué)生是否能接受。倘若不能，需優(yōu)化操作或者調(diào)整儀器，直至預(yù)估到學(xué)生可接受結(jié)果。在此過(guò)程中，教師需仔細(xì)分析實(shí)驗(yàn)各過(guò)程易出現(xiàn)誤差的細(xì)節(jié)。第二，操作實(shí)驗(yàn)，完成誤差接受鋪墊工作。實(shí)際上，就實(shí)驗(yàn)操作的結(jié)果而言，學(xué)生并非集中于不是兩倍或者不是π倍的原因，因?yàn)榍捌谡襟w、長(zhǎng)方體及圓柱體積等教學(xué)中已針對(duì)此類(lèi)困惑進(jìn)行了分析。大多學(xué)生心理上雖然能接受結(jié)果為3倍的事實(shí)，但會(huì)存在一些不甘情緒，如：“我得到的結(jié)果為什么不是這個(gè)呢？”“為什么老師說(shuō)的就是正確的呢？”這些情緒會(huì)減弱學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)操作的興趣，而影響實(shí)驗(yàn)效果。鑒于此，在操作實(shí)驗(yàn)時(shí)，教師可向?qū)W生適時(shí)提示對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生影響的細(xì)節(jié)，為合理解釋存在誤差結(jié)果做好鋪墊。如在學(xué)生倒沙子過(guò)程中可能發(fā)現(xiàn)，圓柱體積為圓錐體積2倍多尚不足3倍，抑或3倍多，這時(shí)教師需及時(shí)提問(wèn)“出現(xiàn)不同結(jié)果的原因在哪？”，旨在引導(dǎo)學(xué)生思考操作前反復(fù)提到的誤差產(chǎn)生細(xì)節(jié)，以此緩解其不良情緒，提高實(shí)驗(yàn)結(jié)果認(rèn)同度。之后，教師需展示自己實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，即在肉眼下觀察剛好為3倍，此操作目的在于通過(guò)示范引導(dǎo)學(xué)生接受實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，教師已在儀器選取、操作細(xì)節(jié)等方面盡可能減少了誤差因素，因此結(jié)果與真實(shí)值更為接近，也為學(xué)生提出猜想奠定了基礎(chǔ)。第三，交流匯報(bào)。此教學(xué)環(huán)節(jié)的意圖在于，學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作及交流可得出：倘若圓柱及圓錐存在等底等高關(guān)系，則圓錐體積為圓柱體積1/3，此關(guān)系不受大小影響因素。但若圓柱及圓錐不存在等底等高關(guān)系，則包括很多情況，此為實(shí)驗(yàn)選取等底等高圓柱及圓錐研究關(guān)鍵原因。第四，體積公式推導(dǎo)。首先推導(dǎo)：以實(shí)驗(yàn)的結(jié)論為依據(jù)，應(yīng)該怎樣計(jì)算圓錐體積呢？其次理解：公式中的sh、h、s分別代表的是什么？再次追問(wèn)：公式中為什么需要乘以1/3呢？最后質(zhì)疑：不等底不等高圓柱及圓錐為什么不適用于此推導(dǎo)？通過(guò)推導(dǎo)活動(dòng)，可讓學(xué)生經(jīng)歷公式推導(dǎo)完整過(guò)程。在質(zhì)疑過(guò)程中，學(xué)生不僅能加深體積計(jì)算認(rèn)知程度，而且能深入理解選取等底等高圓柱及圓錐研究原因，為數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)積累提供有力保障。

（三）過(guò)程回顧，累積活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

在完成實(shí)驗(yàn)操作、新知探究之后，可引導(dǎo)學(xué)生回顧整個(gè)過(guò)程，在揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)、實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的同時(shí)，累積豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。首先，回顧操作過(guò)程，得到正確的結(jié)論。小學(xué)六年級(jí)學(xué)生語(yǔ)言仍存在一定局限，可能出現(xiàn)表達(dá)不簡(jiǎn)潔及不完整等情況，因此教師可讓學(xué)生先在小組內(nèi)回顧，在相互啟發(fā)及補(bǔ)充的基礎(chǔ)上，由起初說(shuō)完整至說(shuō)準(zhǔn)確，到說(shuō)簡(jiǎn)單至說(shuō)清晰，在提高學(xué)生歸納能力及表達(dá)能力的同時(shí)，得到正確結(jié)論。其次，回顧探究的結(jié)果，構(gòu)建數(shù)學(xué)的模型。教師需引導(dǎo)學(xué)生明白，只有等底等高，圓錐體積方為圓柱，通過(guò)深入引流，幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)的模型。最后，回顧數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)解決能力。數(shù)學(xué)思想為問(wèn)題解決策略，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)靈魂。故此，除了回顧過(guò)程及結(jié)果外，還需引導(dǎo)學(xué)生明白數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)藏的思想，為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

（四）結(jié)合結(jié)論，提高數(shù)學(xué)能力

通過(guò)獨(dú)到教學(xué)視角，引源頭活水，喚醒學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，可將結(jié)論性知識(shí)還原為其原本樣貌，幫助學(xué)生親歷知識(shí)發(fā)現(xiàn)及形成的過(guò)程，在讓其領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、滋養(yǎng)數(shù)學(xué)靈性的同時(shí)，增強(qiáng)實(shí)踐、理論融合的技能，為其進(jìn)行高質(zhì)量數(shù)學(xué)探索積累豐富經(jīng)驗(yàn)。

五、結(jié)語(yǔ)

總而言之，“圓錐的體積”邏輯主線(xiàn)并非體積計(jì)算的方法，而是公式推導(dǎo)過(guò)程。在進(jìn)行此課教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)以學(xué)生知識(shí)獲取一般路徑為原則，在巧妙喚醒學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，循序漸進(jìn)、由淺入深進(jìn)行探究，在質(zhì)疑中持續(xù)激發(fā)數(shù)學(xué)活動(dòng)參與熱情及探究欲望，不斷提升再思考及再求證的能力，獲得對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)問(wèn)題分析及解決能力，促進(jìn)自身數(shù)學(xué)思維及實(shí)踐能力得到充分發(fā)展。

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（責(zé)任編輯：胡甜甜）