閆一君

對(duì)稱性和周期性是函數(shù)的的重要性質(zhì)，這兩種性質(zhì)是解答函數(shù)問(wèn)題的重要工具.對(duì)于一些較為復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題，有時(shí)需同時(shí)運(yùn)用對(duì)稱性和周期性求解.若一個(gè)函數(shù)同時(shí)具有對(duì)稱性和周期性，那么該函數(shù)就比較特殊，且具有一些特殊的性質(zhì)，我們可根據(jù)其圖象和解析式得出很多相關(guān)的結(jié)論.

結(jié)論1.若f（x）=f（2a-x）或f（a-x）=f（a+x），則函數(shù)f（x）的圖象必然關(guān)于x=a對(duì)稱.反過(guò)來(lái)，若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=a對(duì)稱，則f（x）=f（2a-x）或f（a-x）=f（a+x）.

證明：如圖1，曲線f（x）關(guān)于直線x=a對(duì)稱，在曲線f（x）上取兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線x=a對(duì)稱，

則點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)相等，

橫坐標(biāo)關(guān)于點(diǎn)a對(duì)稱，

設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，

則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是2a-x，

可得x的函數(shù)值f（x）和2a-x的函數(shù)值f（2a-x）相等，即f（x）=f（2a-x）.

如圖2，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a-x，

則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為a+x，

此時(shí)f（a-x）=f（a+x），因此f（a-x）=f（a+x）.

根據(jù)結(jié)論1，我們可以建立函數(shù)解析式、圖象、函數(shù)對(duì)稱軸之間的聯(lián)系，即根據(jù)其對(duì)稱軸可求得函數(shù)圖象上對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，明確對(duì)稱點(diǎn)的位置，求得函數(shù)的解析式.

結(jié)論2.若f（x）=-f（2b-x）或f（b-x）=-f（b+x），則f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（b，0）中心對(duì)稱.反過(guò)來(lái)，若f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（b，0）中心對(duì)稱，則f（x）=-f（2b-x）或f（b-x）=-f（b+x）.

證明：如圖3，作一條曲線關(guān)于點(diǎn)（b，0）對(duì)稱，

在曲線上取兩點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)（b，0）對(duì)稱，

則點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，

橫坐標(biāo)也互為相反數(shù).

設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，

則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2b-x，則f（x）=-f（2b-x）.

如圖4，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為b-x，

則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為b+x，

則f（b-x）=-f（b+x）.

由結(jié)論2，我們可以根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，求得函數(shù)圖象上對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)及其關(guān)系，明確對(duì)稱點(diǎn)的位置.

結(jié)論3.若f（x+2a）=f（x）或f（x+a）=-f（x），則函數(shù)f（x）的周期為2a.

證明：根據(jù)函數(shù)周期的定義，可知函數(shù)f（x）滿足f（x+2a）=f（x），則函數(shù)的周期是2a.

如圖5，正弦函數(shù)y=sinx周期是2π，當(dāng)x=π/6時(shí)，sinx=-sin（x+π）；當(dāng)x取別的值時(shí)，sinx=-sin（x+π）仍然成立.這就是說(shuō)，一個(gè)角加上π后，函數(shù)值互為相反數(shù)，依次類推，這個(gè)角加上2π后，兩函數(shù)的值相等，即sinx=sin（x+2π），那么函數(shù)的周期是2π.

需要注意是，若函數(shù)f（x）周期是2a（a≠0）時(shí)，f（x+2a）=f（x）一定成立，但f（x+a）=-f（x）不一定成立.例題：已知函數(shù)y=f（x）的定義域是R，f（x+1）是奇函數(shù)，f（x+5）=f（x-3），當(dāng)x∈[1，5]時(shí)，f（x）=log2（x+1），則f（2023）=_____.

解：因?yàn)閒（x+1）是奇函數(shù)，

所以f（-x+1）=-f（x+1），

由于（）

-x+1+（x+1）=2，

所以f（x）=-f（2-x），

即函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱.

由于f（x+5）=f（x-3），

所以f（x+5-5）=f（x-3-5），

即f（x）=f（x-8），

則函數(shù)f（x）的周期是8.

因?yàn)?023=8×252+7，

所以f（2023）=f（7）=f（-1），

而函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，

則f（-1）=-f（3），所以f（2023）=-f（3）.

因?yàn)楫?dāng)x∈[1，5]時(shí)，f（x）=log2（x+1），

得f（3）=log2（3+1）=2，

所以f（2023）=-2.

因?yàn)閒（x+1）是奇函數(shù)，所以根據(jù)奇函數(shù)的定義，將函數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得到f（x）=-f（2-x），根據(jù)結(jié)論2可知函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱.而由f（x）=f（x-8），可知函數(shù)的周期是8，即可根據(jù)函數(shù)的周期性求得問(wèn)題的答案.

在解答與函數(shù)周期性、對(duì)稱性有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要明確自變量的意義，各個(gè)變量與自變量之間的關(guān)系，從而抓住問(wèn)題的本質(zhì)，據(jù)此建立關(guān)系式.必要時(shí)可將數(shù)形結(jié)合起來(lái)，借助圖形來(lái)明確函數(shù)圖象的變化情況，以確定函數(shù)的對(duì)稱性和周期性，順利求得問(wèn)題的答案.

（作者單位：陜西省神木市職業(yè)技術(shù)教育中心）