陳智豪

【摘要】在高職高?！陡叩葦?shù)學(xué)》的教學(xué)過程中，重要任務(wù)是實現(xiàn)“立德樹人、鑄魂育人”.文章以《高等數(shù)學(xué)》中的“二重積分的定義”為例，在教學(xué)過程中設(shè)計了問題引導(dǎo)、實例分析、總結(jié)歸納等環(huán)節(jié)，將課程思政元素融入該知識點的教學(xué)中，旨在深化該課程的思政育人功能.

【關(guān)鍵詞】高職高專；高等數(shù)學(xué)；課程思政

【基金項目】全國輕工職業(yè)教育教學(xué)指導(dǎo)委員會年度課題，高職高?！陡叩葦?shù)學(xué)Ⅱ》課程思政的改革與實踐，2021年12月立項（編號：QGHZW2021049）.

在印發(fā)《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》之后，教育部召開了高校課程思政建設(shè)工作調(diào)研推進(jìn)會，全面推進(jìn)課程思政建設(shè).2021年5月，教育部面向普通本科教育、研究生教育、職業(yè)教育和繼續(xù)教育推出一批課程思政示范課程、教學(xué)名師和團(tuán)隊、教學(xué)研究示范中心.在百家爭鳴、百花齊放的各色成果逐漸形成之際，諸多“數(shù)學(xué)人”也始終不忘教育教學(xué)的初心，在前行的道路上不斷思索與實踐.

作為一門理科類的課程，如何挖掘《高等數(shù)學(xué)》的課程思政元素呢？事實上，理科類課程本身就是一部科學(xué)家不斷追求真理的奮斗史，可以深刻地體現(xiàn)人對于“真善美”的追求.“真”就是真理，科學(xué)中不僅包括了學(xué)科知識，還蘊(yùn)含了大量的客觀真理；“善”就是優(yōu)良，在歷史的長河中優(yōu)良的既有文化知識又有中華傳統(tǒng)；“美”就是和諧，在直觀感受中令人感覺到和諧的事物是具有美感的也是賞心悅目的.高職高?！陡叩葦?shù)學(xué)》的課程思政教學(xué)改革源于課程的發(fā)展歷史，追求和體現(xiàn)“真善美”.下面筆者以“二重積分的定義”為例，用“真善美”實現(xiàn)課程的思政育人功能.

一、教學(xué)設(shè)計

（一）背景知識

從一元函數(shù)到多元函數(shù)，積分學(xué)從定積分引申出重積分.其中，二重積分是和二元函數(shù)相對應(yīng)的積分，三重積分對應(yīng)的則是三元函數(shù).它在形式上和定積分類似，在理論研究和實際應(yīng)用方面都具有重要的價值.

二重積分的概念是學(xué)習(xí)重積分的基礎(chǔ)，它是偏導(dǎo)數(shù)、全微分與曲線積分、曲面積分的橋梁，該知識點可為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)與應(yīng)用奠定重要的基石.

（二）教學(xué)目標(biāo)

如圖1所示，教學(xué)目標(biāo)包括素養(yǎng)目標(biāo)、知識目標(biāo)和技能目標(biāo)，其中素養(yǎng)目標(biāo)體現(xiàn)了課程的思政育人功能.

（三）教學(xué)重、難點

教學(xué)重點：在深刻理解基本概念的前提下，認(rèn)識其中的辯證唯物主義觀點.

教學(xué)難點：重積分概念中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

（四）教學(xué)方法

考慮到學(xué)生早就具備了一元函數(shù)中定積分的知識基礎(chǔ)，教師在課堂上采用小組討論法和講授法，結(jié)合信息化技術(shù)和教學(xué)平臺實施線上、線下混合式教學(xué)，同時全過程伴隨課程思政元素徐徐展開.

（五）教學(xué)準(zhǔn)備

教學(xué)不僅僅是課堂的45分鐘，教師在課前要做許多前期準(zhǔn)備.第一，教師要確定每節(jié)課的計劃與安排：本節(jié)課的主要知識點是二重積分，包括引例和定義兩個部分的內(nèi)容.第二，教師要準(zhǔn)備文字資料.除了參考配套的教材和教輔，教師還需要查閱相關(guān)文獻(xiàn)，比如華東師大的《數(shù)學(xué)分析》、同濟(jì)大學(xué)的《高等數(shù)學(xué)》、中國古代的《九章算術(shù)》等.第三，教師要根據(jù)學(xué)生情況進(jìn)行教學(xué)設(shè)計.學(xué)生在每個階段反饋給教師的學(xué)習(xí)情況都會有一些小變化.在設(shè)計階段，教師需要對教案進(jìn)行不斷的調(diào)整，以取得更出彩的教學(xué)效果.教師要做信息搜集的有心人、知識傳遞的領(lǐng)跑人、思想引領(lǐng)的示范人.第四，教師要根據(jù)教學(xué)設(shè)計準(zhǔn)備教具和布置預(yù)習(xí)任務(wù).這里用到的教具有信息化的教學(xué)設(shè)施，比如電腦、投影儀、網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺等.預(yù)習(xí)任務(wù)是按照一定的規(guī)則把全體學(xué)生分為多個小組，可以將同一個宿舍的分在一組，也可以由系統(tǒng)隨機(jī)分配小組成員，又或者按照學(xué)號順序分組等.總體來說需要根據(jù)學(xué)生情況，確保每個小組的“實力”相當(dāng).同時，通過網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)單.第五，在學(xué)生完成預(yù)習(xí)任務(wù)單之后，教師要根據(jù)反饋再次調(diào)整教學(xué)設(shè)計，細(xì)化教學(xué)方案.實際上，在課程正式開始之前，教師需要不斷調(diào)整教學(xué)設(shè)計.課程團(tuán)隊只有不斷打磨和精雕細(xì)琢，才能使教學(xué)設(shè)計越來越貼合學(xué)情，思政教育的效果更加到位，知識傳授更加精準(zhǔn).

（六）教學(xué)過程

1.問題引導(dǎo)

問題一：中國古代樸素的微積分思想體現(xiàn)在割圓術(shù)中，如何利用割圓術(shù)求曲邊梯形的面積？

由開放型問題引入新知，通過小組合作探究的方式，回顧前面學(xué)過的定積分的概念，利用割圓術(shù)求解曲邊梯形的面積.在合作探究的過程中，小組內(nèi)需要查閱資料、集中討論、動手實踐，在深刻理解大化小、無限逼近的思想的基礎(chǔ)上推演出曲邊梯形的面積.

教師可以摘錄古代著作原文，引導(dǎo)各個小組理解其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理，讓學(xué)生在掌握割圓術(shù)的原理求曲邊梯形面積的同時，驚嘆于古人的數(shù)學(xué)智慧，產(chǎn)生強(qiáng)烈的民族自豪感，這就是求真.

問題二：怎樣計算空間中不規(guī)則立體圖形的體積？

用空間中平行于yOz面或zOx面的平面切割不規(guī)則立體，可以得到多個曲頂柱體，從而轉(zhuǎn)化為計算曲頂柱體的體積.從而引出曲頂柱體的概念：設(shè)有一個立體，它的底是xOy面上的閉區(qū)域D，它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面，它的頂是曲面z=f（x，y），這里f（x，y）≥0且在D上連續(xù)，這種立體叫作曲頂柱體（如圖2所示）.

由生活中常見的不規(guī)則立體的體積問題引出曲頂柱體體積的求解問題，找到全體學(xué)生共同的興趣點，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，這就是求善.

問題三：求解曲頂柱體體積的思路是怎樣的？

第一步，分析問題，找到問題的難點在于曲頂該如何處理.第二步，指出解決問題難點的方法，用曲線網(wǎng)把D分割成若干個較小的閉區(qū)域，從而把一個曲頂柱體切分成若干個較小的曲頂柱體.第三步，對于每一個小的曲頂柱體，用平頂替代曲頂，并且使用動畫展示該過程.當(dāng)每個較小的曲頂柱體的底面面積都越來越小時，近似值的誤差就會越來越小.第四步，通過小組合作與教師的指導(dǎo)，把曲頂柱體的體積計算方法和步驟總結(jié)出來.

借助于具體的幾何問題及動畫展示的直觀性，學(xué)生能夠主動探索其中的數(shù)學(xué)原理，從而自然而然地融入量變到質(zhì)變的辯證唯物主義思想，這就是求美.

問題引入的最后要進(jìn)行歸納和總結(jié)，得出結(jié)論———曲頂柱體的體積歸結(jié)為一個特定的表達(dá)式，在形式上為函數(shù)與增量的乘積之和的極限.在此過程中，學(xué)生的歸納總結(jié)能力得到提高，團(tuán)隊合作的意識得到加強(qiáng).

2.二重積分的定義

第一步：給出二重積分的定義.

定義比較冗長，結(jié)合關(guān)于曲頂柱體的實例進(jìn)行講解更加形象和直觀.定義中的各種符號都是由一代代的數(shù)學(xué)家總結(jié)出來的，符號本身不但線條簡潔，而且極具美感.這直接體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的符號美.

第二步：指出二重積分和定積分的區(qū)別與關(guān)聯(lián).

區(qū)別：（1）二重積分的被積函數(shù)是二元函數(shù)，比如f（x，y），而定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù)，比如f（x）；（2）二重積分的積分變量是σ，定積分的積分變量是x；（3）二重積分的積分域是有界的平面閉區(qū)域D，定積分的積分域是閉區(qū)間[a，b].相同點是：（1）它們的步驟都是“分割———取近似———求和———取極限”；（2）它們在形式上看都是函數(shù)f與積分變量的增量的乘積之和的極限；（3）它們在結(jié)果上看都是確定的數(shù)值.

此處的區(qū)別、關(guān)聯(lián)先由學(xué)生組內(nèi)討論，然后各小組搶答，最后教師用動態(tài)的圖表呈現(xiàn)出全面、詳細(xì)的結(jié)果.通過對兩個知識點的區(qū)別與聯(lián)系的分析，不僅可以由此及彼地實現(xiàn)知識的遷移與延伸，而且能夠幫助學(xué)生逐步提高類比的能力.

從細(xì)節(jié)方面入手，幫助學(xué)生更精準(zhǔn)地理解二重積分的定義，從而把握利用定義解決問題的方法，同時體現(xiàn)了數(shù)學(xué)人一絲不茍的工作態(tài)度與嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實的科學(xué)精神.不僅有言傳，而且有身教.

第四步：對定義中的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行總結(jié).定義分為以下四個步驟（如圖3所示）：

這四個步驟反映了整體與部分的關(guān)系，質(zhì)與量的互變規(guī)律.從整體和部分來說，大立體是一個整體，每個小立體是大立體的一個部分；全過程是一個整體，每個步驟是一個部分；積分學(xué)的知識體系是一個整體，每種積分是一個部分；全體學(xué)習(xí)者是一個整體，每名學(xué)生是一個部分.從質(zhì)與量的互變規(guī)律來說，每個小立體的近似值是量變，大立體的近似值是質(zhì)變；每個小立體的底面積都趨向于零是量變，取極限得到大立體體積的準(zhǔn)確值是質(zhì)變；對每一個知識點的學(xué)習(xí)與掌握是量變，對知識體系的學(xué)習(xí)與掌握是質(zhì)變.

這一過程可讓學(xué)生體會其中的數(shù)學(xué)思想，同時體現(xiàn)了課程的系統(tǒng)性、完整性以及延伸性，把本節(jié)課蘊(yùn)含的哲學(xué)思想凝結(jié)在定義之中.定義中既有真，又有善，更有美.此外，教師展現(xiàn)出的對工作的一絲不茍的敬業(yè)精神，對學(xué)術(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實的科研精神，對課堂的精益求精的進(jìn)取精神，也在浸染著學(xué)生的心靈.

二、教學(xué)反思

“二重積分的定義”這一課是一節(jié)單純教學(xué)概念的課，內(nèi)容比較單一和枯燥.為了實現(xiàn)課程育人功能中的價值塑造、能力培養(yǎng)和知識傳授，教師在導(dǎo)入部分設(shè)計了開放性的小組活動，在定義講解部分通過解題實例一步步地給出概念，在細(xì)節(jié)處理上用嚴(yán)謹(jǐn)、縝密的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表述.首先從古代樸素的微積分思想切入，如畫卷徐徐展開，呈現(xiàn)出核心問題———曲頂柱體的體積.然后從特殊到一般，總結(jié)歸納出二重積分的定義.最后，補(bǔ)充并強(qiáng)調(diào)在定義中需要注意的一些細(xì)節(jié)問題.整個過程如行云流水一般，自然而流暢，教學(xué)環(huán)節(jié)一環(huán)緊扣一環(huán)，層層遞進(jìn)地升華了知識的深度、廣度和難度，更為重要的是悄無聲息地融入了課程思政的元素，實現(xiàn)了課程的思想政治育人功能.

人們所追求的真善美蘊(yùn)含其中，古代樸素的數(shù)學(xué)思想、知識點本身的數(shù)學(xué)原理即是真，以小組合作為形式在教師指引之下追求真理、不斷探索即是善，高度濃縮的數(shù)學(xué)符號、極具對稱性和特征突出的表達(dá)式即是美.如果人人都追求真理，人人都一心向善，人人都有愛美之心，那么課程就達(dá)到了預(yù)期目標(biāo).在“真善美”的指引下學(xué)生對看似枯燥的數(shù)學(xué)知識燃起了熱烈的探尋之火，這也推動了知識學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力.思政教育與知識傳授，既相互成就了彼此，又融為一體.

總 結(jié)

教育家陶行知曾經(jīng)說過，教師要將對教育事業(yè)的堅定信仰轉(zhuǎn)化為雙肩上的職責(zé).作為新時代的職教人，教師不僅要口傳心授，還要塑造學(xué)生的品質(zhì)和人格.課程思政是將思政元素有機(jī)融入非思政課程，發(fā)揮其思想政治教育功能，促成思政教育與知識教育的有機(jī)統(tǒng)一的一種教育模式.課程思政模式下的教學(xué)改革與實踐體現(xiàn)了以德育人的教育理念，是實現(xiàn)“三全育人”的重要途徑.在基礎(chǔ)課程，尤其是高職高專各個專業(yè)廣泛開設(shè)的《高等數(shù)學(xué)》課程中挖掘和剖析課程思政元素，把握思想引領(lǐng)和價值導(dǎo)向的風(fēng)向標(biāo)，發(fā)揮課程團(tuán)隊的凝聚力，顯得尤為迫切和重要.教學(xué)工作不是紙上談兵，需要在設(shè)計和實踐之間不斷切換.教師如果把工作落到實處、切到細(xì)微，那么教學(xué)效果必定會越來越好.同時，這些也是高職高專數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)不斷探究的重大課題.

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