夯實基礎(chǔ)　關(guān)注綜合

王浩宇　王紅權(quán)

摘? 要：分析2023年高考“集合、常用邏輯用語、不等式”專題試題，發(fā)現(xiàn)題型和難度相對穩(wěn)定. 試題注重考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握、理解和運用，以及對數(shù)學(xué)思想方法的靈活運用. 通過對典型試題的解法分析和解題規(guī)律的總結(jié)，提出復(fù)習(xí)備考的建議．

關(guān)鍵詞：集合；常用邏輯用語；不等式；試題分析；解法分析

“集合、常用邏輯用語、不等式”屬于主題一“預(yù)備知識”的內(nèi)容，是由初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過渡到高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的銜接，也是高考必考內(nèi)容. 這部分知識本身難度不大，單一知識點考查以簡單題為主；作為解決問題的工具考查時，往往與函數(shù)、幾何等內(nèi)容綜合，試題難度較大，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素養(yǎng).

一、試題特點分析

2023年高考“集合、常用邏輯用語、不等式”專題試題的考查方式并未有太大變動，基本延續(xù)2022年的命題思路. 單獨考查集合、常用邏輯用語、不等式內(nèi)容的試題相對較少，更多是與函數(shù)、數(shù)列等內(nèi)容綜合體現(xiàn)其工具性，具體情況如表1所示.

由表1可知，2023年高考的集合試題以單選題為主，且除上海卷外基本出現(xiàn)在全卷的起始位置. 主要考查集合的含義與表示（重點考查列舉法和描述法）和集合間的關(guān)系與運算（包括求交集、并集和補集的運算）. 試題中規(guī)中矩、難度較小，可以安撫學(xué)生情緒，體現(xiàn)人文關(guān)懷.

常用邏輯用語試題以選擇題為主，題量較少. 全國新高考Ⅰ卷和全國新高考Ⅱ卷中均未設(shè)置獨立考查常用邏輯用語知識的試題，體現(xiàn)了其與全國甲卷和全國乙卷的差異. 獨立成題的只有“充要條件”類試題，且全國甲卷和全國乙卷僅在理科試卷中出現(xiàn)，體現(xiàn)了文、理科試題之間的差異. 盡管“充要條件”類試題在北京卷和上海卷中也有出現(xiàn)，但上海卷中并未將其作為單獨考點，而是以試題的限制條件出現(xiàn)，這種考法在2022年全國新高考Ⅰ卷第22題中出現(xiàn)過. 量詞“任意”和“存在”沒有單獨試題，都是與其他知識融合成題，以工具的形式出現(xiàn)，往往有一定計算量.

不等式是2023年高考數(shù)學(xué)重點考查的內(nèi)容之一，直接考查的有解不等式、比較大小和線性規(guī)劃等. 更多的則是與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等綜合考查. 例如，利用不等式性質(zhì)求定義域、值域、證明不等關(guān)系等，全面考查學(xué)生的抽象能力、推理能力和運算能力，體現(xiàn)了不等式的綜合性和應(yīng)用性.

1. 考查必備知識，注重基礎(chǔ)性

2023年高考“集合、常用邏輯用語、不等式”專題試題注重考查基本概念和運算，考查形式通常為運算，題型多為選擇題. 此類試題只需要學(xué)生掌握相應(yīng)概念，能進行簡單計算即可，而且能篩選粗心的學(xué)生.

目標解析：此題主要考查向量的計算與三角函數(shù)最值的求解，需要結(jié)合圖象建立平面直角坐標系解決問題，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素養(yǎng).

解法分析：解法1通過建立平面直角坐標系并設(shè)點為未知量，將問題轉(zhuǎn)化為求動點橫坐標的最小值，之后根據(jù)圓的幾何特征獲取動點的軌跡完成求解；解法2設(shè)角為未知量，數(shù)形結(jié)合地將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值. 解法1和解法2均屬于通解，解法1側(cè)重幾何，解法2側(cè)重代數(shù). 解法3則完全利用幾何法，借助投影向量求解.

題源分析：此題的命題思路來自人教A版教材選擇性必修第一冊“2.4 圓的方程”課后習(xí)題中的動點問題，核心在于正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題. 解題時需要數(shù)形結(jié)合，選擇合適的變量對所求式子進行轉(zhuǎn)化與化歸，解題難度與所選的未知量有一定關(guān)系. 當(dāng)不等式與其他知識模塊結(jié)合后，試題的跨度大，既可以直觀考查學(xué)生對相關(guān)基礎(chǔ)知識的掌握情況，還能考查學(xué)生對知識的綜合運用情況. 值得注意的是，2023年高考全國卷中未考查立體幾何中的動點關(guān)系.

類題賞析：動點問題一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的痛點，高考中的動點問題主要包括直線運動、曲線運動、拋體運動和圓周運動等. 求解方法主要是通過設(shè)未知量，利用坐標、向量和幾何關(guān)系等建立方程并求解，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題. 高考中的同類動點問題還有2023年天津卷第18題、2022年全國甲卷（理科）第16題（公共點問題）和2021年全國甲卷（理科）第19題（立體幾何中的動點問題）等.

二、優(yōu)秀試題分析

例4 （全國乙卷·理10）已知等差數(shù)列[an]的公差為[2π3]，集合S =[cosann∈N*]，若S =[a，b]，則ab的值為（? ? ）.

（A）-1 （B）-[12]

（C）0 （D）[12]

題意理解：此題綜合考查數(shù)列、三角函數(shù)與集合知識，體現(xiàn)集合的工具性. 主要考查學(xué)生對等差數(shù)列通項公式、余弦函數(shù)的周期性和集合元素性質(zhì)的理解. 通過試題條件可以得到等差數(shù)列[an]的通項公式，結(jié)合余弦函數(shù)的周期性和集合中元素的互異性確定集合S. 試題求解的難點在于如何將周期數(shù)列的周期為3與集合中只有兩個元素相結(jié)合. 另外，要求解集合S中元素的乘積，隱藏了問題本質(zhì)，在一定程度上增加了試題的難度.

思路探求：因為等差數(shù)列[an]的公差為[2π3]，所以an = a1 +[2π3n-1][=2π3]n +[a1-2π3]. 所以cos an周期為3，即cos an最多有3個不同的取值. S =[a，b]表示集合中僅存在兩個元素，故同一周期內(nèi)，cos an必有兩個取值相同. 接下來共有3種方法能求出答案. ① 分類討論法：對數(shù)列中相同的項進行分類討論. 為了方便計算取數(shù)列前3項，分別討論a1 = a2和a2 = a3. ② 特殊值法：代入容易計算的特殊值求解. ③ 分類討論法：設(shè)前兩項相等，借助三角函數(shù)的對稱性，分別討論關(guān)于x軸非負半軸對稱和關(guān)于x軸非正半軸對稱.

回顧反思：此題是集合、三角函數(shù)與數(shù)列的綜合試題，知識的綜合運用和大量的計算是這類題的設(shè)計特點. 此題考查高中數(shù)學(xué)中必須掌握的元素的基本特性，即互異性，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理能力. 解答時需要根據(jù)條件表示集合中的元素，通過推理和運算獲得答案. 此題的難點在于將“同一周期內(nèi)，必有一個元素相同”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子. 解決難點共有3種方法，方法1和方法3均通過分類討論解決難點. 其中，方法1為通解，方法3是對方法1的優(yōu)化. 解題時，通過分類討論能條理清晰地對所有情況進行研究，可以避免遺漏，但是需要學(xué)生具有較強的邏輯思維能力. 方法2屬于特解，利用特殊值可以快速求解，但是需要一定的解題技巧和數(shù)學(xué)直覺.

回顧反思：此題的本質(zhì)是考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理等素養(yǎng). 通法為作差法，對應(yīng)的解法1條理清晰，有較強的思維邏輯，是高考對學(xué)生的基本要求. 作差計算較困難時，若指數(shù)、底數(shù)有相同的數(shù)字，可以借助函數(shù)的單調(diào)性求解；若有相同結(jié)構(gòu)，則可以通過構(gòu)造函數(shù)求解；若出現(xiàn)熟悉的數(shù)字，可以利用估算求解；還可以選取合適的中間值求解，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想.

比較大小的試題中若出現(xiàn)常見的無理數(shù)或熟悉的函數(shù)結(jié)構(gòu)，可以使用特殊值法求解，對應(yīng)此題的解法2. 通過代入具體數(shù)字求解能加快解題速度，但是需要一定的計算技巧，屬于特解. 此題的創(chuàng)新點是根據(jù)復(fù)合函數(shù)外層函數(shù)的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為比較內(nèi)層函數(shù)值的大小. 2023年高考中的同類試題還有天津卷第3題和上海卷第21題第（2）小題，其均結(jié)合其他知識考查不等式的工具性. 比較大小是2022年高考中的熱點問題，2023年熱度有所降低，且對應(yīng)試題難度下降.

此題還可以從函數(shù)的性質(zhì)角度考慮求解，即由[fx]關(guān)于x = 1對稱，將[f22]，[f32]，[f62]的大小比較轉(zhuǎn)化為對[22]，[32]，[62]與1的距離的比較.

回顧反思：此題將不等式與解析幾何結(jié)合，不等式在其中發(fā)揮工具性作用，主要考查學(xué)生對知識的綜合運用. 此題的難點在于對問題的轉(zhuǎn)化，即通過設(shè)點為未知量，將矩形的周長表達為二元式子，再通過矩形鄰邊垂直將二元降至一元，并求得最小值. 此題求解的障礙點是計算，求導(dǎo)復(fù)雜，還需要利用絕對值不等式，易錯點是不能同時取等的證明. 解題時，可以通過平移函數(shù)化簡計算，若將函數(shù)向下平移[14]個單位長度后再證明，可以減少部分計算量.

變式設(shè)計：（1）將拋物線方程改成橢圓方程或雙曲線方程；（2）將求周長的最小值改成求面積的最小值.

三、復(fù)習(xí)備考建議

集合、常用邏輯用語和不等式是高中數(shù)學(xué)中的基本內(nèi)容，更是研究數(shù)學(xué)問題的工具. 作為高考必考內(nèi)容，單獨考查時難度較低，多出現(xiàn)在選擇題前幾題的位置. 更多時候以綜合題的形式出現(xiàn)，考查其工具性. 通過對2023年高考“集合、常用邏輯用語、不等式”專題典型試題的解題分析，提出以下幾點復(fù)習(xí)備考建議.

1. 注重基礎(chǔ)，把握基本考點

高考更注重考查學(xué)生對概念、性質(zhì)、定理本身的掌握和運用情況，于細微處著手，考查學(xué)生對知識細節(jié)的掌握. 復(fù)習(xí)過程中，需要以概念和通法為主，打好基礎(chǔ)，做到對知識點融會貫通.

2. 關(guān)注情境，學(xué)會分析問題

集合、常用邏輯用語在高考中發(fā)揮工具性作用，通常與不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等進行綜合考查. 這類試題的題型和難度跨度較大. 解題時，需要將問題中的“恒成立”“存在”轉(zhuǎn)化為求最值問題.

不等式在高考中既作為考點，考查不等式的性質(zhì)和一元二次不等式的解法，又發(fā)揮工具性作用，以主觀題形式考查不等式的性質(zhì)和求解. 后者往往具有情境性，復(fù)習(xí)時可以借助情境化教學(xué)，促使學(xué)生在具體情境中熟悉問題轉(zhuǎn)化的技巧.

3. 感悟思想，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

高考復(fù)習(xí)過程中，要重視學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的感悟和掌握，依據(jù)試題結(jié)構(gòu)歸納解題思路，尋找破題點. 常見的破題點有：分類討論、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、反證法、構(gòu)造函數(shù)等. 解題歸納能讓學(xué)生回歸知識本身，使得解題思路更加清晰、有條理；能促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升，使其遇難題而不慌.

四、典型模擬題

1. 在研究集合時，經(jīng)常遇到有關(guān)集合中元素的個數(shù)問題，我們把含有限個元素的集合A叫做有限集，用Card來表示有限集合A中的元素個數(shù). 例如：A =[a，b，c，] 則Card[A]= 3. 現(xiàn)有集合M =[xx≥0，x∈Z]，N =[yy=9-log2x，x>1，] 則Card[M∩N]等于? ? ? .

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］曹媛，李金生. 重視基本概念原理? 強調(diào)數(shù)學(xué)思維方法：2022年高考“集合、常用邏輯用語、不等式”專題解題分析［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2022（7 / 8）：21-31，40.

作者簡介：王浩宇（1998— ），男，二級教師，主要從事課題教學(xué)研究；

王紅權(quán)（1970— ），男，高級教師，浙江省特級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.