吳仁芳 趙彬如

[摘 要] 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者獲取數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力的有效途徑，是數(shù)學(xué)教育的核心問(wèn)題?；跀?shù)學(xué)理解視角，文章從數(shù)學(xué)概念、命題、推理和證明出發(fā)建構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生成基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)意義、關(guān)系、能力、情境和認(rèn)知中涵育數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值意蘊(yùn)，在數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)、抽象、探究、反思和情境中探尋數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)展路徑，以滿足數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有效性、核心質(zhì)、途徑源、審視域和情感場(chǎng)的需求。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)理解；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)情境；數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A[文章編號(hào)】1674 - 6120（ 2024）06 - 0031 - 13

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有時(shí)代性和發(fā)展性，“入乎其內(nèi)，見(jiàn)其底蘊(yùn)，出乎其外，見(jiàn)其全體”，需要學(xué)習(xí)者以海納百川的胸懷和推陳出新的膽識(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)理解，發(fā)展理性思維?！掇o海》將“理解”界定為：運(yùn)用已有知識(shí)揭露事物之間的聯(lián)系而認(rèn)識(shí)該事物的過(guò)程1]。數(shù)學(xué)理解可認(rèn)為是學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)中本原性、結(jié)構(gòu)性知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)，從而達(dá)成數(shù)學(xué)高階思維的發(fā)展過(guò)程。同時(shí)，學(xué)生數(shù)學(xué)理解對(duì)象的核心是概念和關(guān)系，為數(shù)學(xué)理解而教，通過(guò)幫助學(xué)生對(duì)概念與命題的深刻理解來(lái)促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的推理證明，已經(jīng)成為課程標(biāo)準(zhǔn)所提倡的理念‘3]。數(shù)學(xué)理解是將知識(shí)轉(zhuǎn)換為能力的重要橋梁，是一種提升思維智識(shí)的途徑。有效的數(shù)學(xué)教學(xué)需要教師認(rèn)真致力發(fā)展學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，通過(guò)可操作的符號(hào)、技能實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)真理的追求，聚焦于教師的理解性教和學(xué)生的理解性學(xué)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。而不當(dāng)或膚淺的理解，很容易造成與核心素養(yǎng)有關(guān)的教育教學(xué)理論或相應(yīng)實(shí)踐在思維方面的混亂4]。因此，在當(dāng)下剖析數(shù)學(xué)理解下數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生成基礎(chǔ)、價(jià)值意蘊(yùn)及發(fā)展路徑，對(duì)教師師德踐行、業(yè)務(wù)拓展和學(xué)生身心發(fā)展等具有十分重要的理論和實(shí)踐意義。

一、數(shù)學(xué)理解下學(xué)習(xí)的生成基礎(chǔ)

概念、命題、推理和證明等構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的生成邏輯，而數(shù)學(xué)理解是溝通數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)技能的有效橋梁。數(shù)學(xué)理解是一個(gè)不斷變化的、有序的生態(tài)系統(tǒng)，其通過(guò)情境創(chuàng)設(shè)厘清數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵與外延，把握數(shù)學(xué)命題的意義生成，引起認(rèn)知沖突，通過(guò)判斷分析、邏輯推理和證明抽象等思維整合并融合知識(shí)隔閡，從而實(shí)現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”[6]。

（一）在數(shù)學(xué)概念中生成

數(shù)學(xué)概念是形成知識(shí)體系的基本所在。數(shù)學(xué)概念是一種思維產(chǎn)物，是人腦在對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特點(diǎn)進(jìn)行多次抽象并將其現(xiàn)實(shí)對(duì)象的真實(shí)意義隱藏起來(lái)后形成的，是數(shù)量具體性與空間抽象性的辯證統(tǒng)一。

1．?dāng)?shù)學(xué)概念使知識(shí)質(zhì)量蘊(yùn)涵化。理解一個(gè)數(shù)學(xué)概念，必須明確其內(nèi)涵與外延，并刻畫(huà)其質(zhì)的特征與量的范圍。在隱喻模式的支撐下，數(shù)學(xué)學(xué)科注重將已有的基礎(chǔ)概念構(gòu)成的源域映射到陌生的難以理解的目標(biāo)域，尋找并驗(yàn)證其內(nèi)在表征的契合關(guān)系，并以此推進(jìn)數(shù)學(xué)理解學(xué)習(xí)的認(rèn)知發(fā)展持續(xù)化。

2．?dāng)?shù)學(xué)概念使內(nèi)在關(guān)系結(jié)構(gòu)化。從數(shù)形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念，通過(guò)理想化與抽象化的途徑使數(shù)學(xué)縱橫概念中的內(nèi)在聯(lián)結(jié)關(guān)系相互關(guān)聯(lián)與融合．完成思維心智過(guò)程的傳遞與交流，從而促進(jìn)學(xué)生提高抽象思維與理解問(wèn)題表征，并構(gòu)建有意義的圖景或心理表征，以此發(fā)展學(xué)生的高階思維能力，推進(jìn)數(shù)學(xué)理解中多元知識(shí)結(jié)構(gòu)化。

3．?dāng)?shù)學(xué)概念使符號(hào)表達(dá)奠基化。在數(shù)學(xué)判斷與推理中，數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成它們的基礎(chǔ)。學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)概念的多重屬性及符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)模式，通過(guò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)原則對(duì)所有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中的元素加以取舍，將已有的具體概念映射到抽象概念并相互融合，推進(jìn)數(shù)學(xué)理解中隱性思維顯性化，以此滿足學(xué)生更高層次的追求。

4．?dāng)?shù)學(xué)概念使要素隱喻模式化。教師要引導(dǎo)學(xué)生正確理解并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，將數(shù)學(xué)知識(shí)中的公理與定義等具體概念作為理解抽象概念的“腳手架”。源域與目標(biāo)域的隱喻模式通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)概念要素的性質(zhì)對(duì)比、知識(shí)嵌套、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)標(biāo)記等途徑對(duì)抽象概念編碼，形成與具體概念相關(guān)的結(jié)構(gòu)圖，激活個(gè)體的身體活動(dòng)和感知經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯的連接，形成有序的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系。

（二）在數(shù)學(xué)命題中生成

數(shù)學(xué)命題是表達(dá)論域中有多少數(shù)學(xué)對(duì)象具有或不具有某種性質(zhì)或關(guān)系。命題通過(guò)一定的規(guī)則把概念和概念聯(lián)結(jié)起來(lái)，從而獲得一個(gè)完整的思想。數(shù)學(xué)命題幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基本規(guī)律，理解數(shù)學(xué)基本結(jié)構(gòu)，提高解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)其發(fā)展合適的理解方式和思維方式。

1．?dāng)?shù)學(xué)命題使認(rèn)知實(shí)踐抽象化。命題通過(guò)邏輯方法或經(jīng)驗(yàn)事實(shí)進(jìn)行分析、證實(shí)、判斷。實(shí)踐是命題抽象性的判定標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生的思維所依賴的范疇或認(rèn)知圖式根本上是實(shí)踐活動(dòng)的范疇或圖式的隱性認(rèn)知，通過(guò)實(shí)踐從而獲得揭示命題間的聯(lián)系并理解命題的過(guò)程，幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)踐等問(wèn)題情境中驅(qū)動(dòng)思維，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知意義建構(gòu)。

2．?dāng)?shù)學(xué)命題使知識(shí)關(guān)系有序化。數(shù)學(xué)命題通過(guò)使命題形成鏈狀，讓先行命題為后續(xù)命題提供認(rèn)知固著點(diǎn)，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)推理關(guān)系的樞紐，構(gòu)成學(xué)生的推理及解決問(wèn)題的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)命題通過(guò)命題串聯(lián)單元網(wǎng)絡(luò)并形成一定的序化圖式，能有效調(diào)動(dòng)學(xué)生認(rèn)知過(guò)程中的所知和能知建構(gòu)體系化認(rèn)知，有利于學(xué)生知識(shí)的有序檢索和融會(huì)貫通。

3．?dāng)?shù)學(xué)命題使邏輯理性合理化。數(shù)學(xué)命題被視為邏輯理性的代表。學(xué)生通過(guò)有目的、有意識(shí)、能動(dòng)地改造世界并表達(dá)一種主體理性與非理性的隱性預(yù)設(shè)，而后通過(guò)理解內(nèi)生的邏輯展開(kāi)命題理性的推理以及思辨性的判斷和反思，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造性思維與感性具身要素等非理性想象和情感的培育和體驗(yàn)，確保數(shù)學(xué)命題的正當(dāng)性以及合理性。

4．?dāng)?shù)學(xué)命題使邏輯意義心理化。命題的學(xué)習(xí)過(guò)程就是命題的邏輯意義向個(gè)體心理意義轉(zhuǎn)化的過(guò)程[7。數(shù)學(xué)理解中能持久保持的不是命題本身，而是命題表達(dá)的意義。數(shù)學(xué)命題經(jīng)過(guò)認(rèn)識(shí)主體選擇認(rèn)識(shí)對(duì)象并抽象加工成思維存在的形式，通過(guò)有效的命題關(guān)聯(lián)與建構(gòu)，逐步抽象化生成新的結(jié)構(gòu)。

（三）在數(shù)學(xué)推理中生成

數(shù)學(xué)推理是由一個(gè)或幾個(gè)已知的數(shù)學(xué)命題判斷推出新的數(shù)學(xué)命題的思維形式。在認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的性質(zhì)和關(guān)系的過(guò)程中，需要學(xué)生基于一些數(shù)學(xué)概念與命題，作出恰當(dāng)?shù)睦斫獠⑦M(jìn)行合乎邏輯的推理。數(shù)學(xué)推理具有演繹、歸納、類比的性質(zhì)，具有發(fā)散思維、充實(shí)猜想、說(shuō)明論證、擴(kuò)充知識(shí)體系等多方面的功能。

1．?dāng)?shù)學(xué)推理使思維縝密化。數(shù)學(xué)推理推動(dòng)學(xué)生主動(dòng)確認(rèn)問(wèn)題的本質(zhì)屬性，訓(xùn)練學(xué)生心智的活潑自由性，增進(jìn)其理解事物的邏輯性與敏銳性；同時(shí)，在數(shù)學(xué)推理中運(yùn)算和思維均不可偏廢。復(fù)雜的推理不僅需要學(xué)生依靠數(shù)學(xué)公式與數(shù)學(xué)運(yùn)算得出結(jié)論，還要依靠數(shù)學(xué)思維運(yùn)籌帷幄，增進(jìn)思維的廣度、寬度、深度，全面把握問(wèn)題。

2．?dāng)?shù)學(xué)推理使認(rèn)知深刻化。從推理的形式上看，數(shù)學(xué)推理的目的在于通過(guò)邏輯上的核實(shí)、校對(duì)確定命題的真實(shí)性，然而對(duì)事物的淺顯認(rèn)識(shí)往往阻礙了推理的前行。數(shù)學(xué)推理需要比較、聯(lián)結(jié)、提煉、反思，每一個(gè)環(huán)節(jié)都離不開(kāi)已有的正確概念、命題與新命題之間的關(guān)聯(lián)，通過(guò)聯(lián)結(jié)使學(xué)習(xí)者對(duì)新命題的認(rèn)同方式從邏輯意義上過(guò)渡到心理意義上，逐漸扎根于學(xué)生心理。

3．教學(xué)推理使品質(zhì)堅(jiān)毅化。數(shù)學(xué)推理的迂回挫折性使學(xué)生實(shí)實(shí)在在地參與到推理的智力活動(dòng)中，體會(huì)在不斷辨別、組織、重組中將概念、命題整合成符合邏輯的信息體。在通過(guò)實(shí)現(xiàn)推理目標(biāo)的途徑中，學(xué)生在面臨推理失敗的情況下依然選擇堅(jiān)持，忍耐力、復(fù)原力等卓越屬性被塑造。

4．?dāng)?shù)學(xué)推理使知識(shí)系統(tǒng)化。代數(shù)推理、空間推理、數(shù)據(jù)推理、綜合推理囊括了數(shù)學(xué)學(xué)科中的上位知識(shí)和下位知識(shí)。在數(shù)學(xué)推理中，學(xué)生把推理過(guò)程看成一種“征服對(duì)象”，挑選合適的數(shù)學(xué)知識(shí)作為工具完成推理流程，將學(xué)習(xí)到的零散知識(shí)進(jìn)行加工，梳理知識(shí)系統(tǒng)的內(nèi)在意義、一般過(guò)程與思想方法，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的組織判斷能力。

（四）在數(shù)學(xué)證明中生成

數(shù)學(xué)證明是以一些真實(shí)的命題、公理為前提來(lái)確定另一個(gè)數(shù)學(xué)命題正確性的思維過(guò)程，具體地說(shuō)是由數(shù)學(xué)基本概念、命題為基礎(chǔ)，從題設(shè)條件人手，遵循數(shù)學(xué)基本邏輯、運(yùn)算規(guī)則，通過(guò)逐步歸納、演繹，得出結(jié)論的過(guò)程，即尋找命題之間的傳遞性。

1．?dāng)?shù)學(xué)證明使論證過(guò)程檢驗(yàn)化。一個(gè)完整的證明應(yīng)當(dāng)包括對(duì)命題的論證演繹推理過(guò)程及核實(shí)命題正確性的檢驗(yàn)過(guò)程。在論斷中，學(xué)生將自身對(duì)數(shù)學(xué)概念、命題、公理的理解以“數(shù)學(xué)文本”的方式呈現(xiàn)；在驗(yàn)證中，對(duì)文本自始至終進(jìn)行完整視域融合上的閱讀與檢驗(yàn)[10]，由此建立了學(xué)生數(shù)學(xué)證明上闡釋性論證與理解性檢驗(yàn)的綜合統(tǒng)一體。

2．?dāng)?shù)學(xué)證明使認(rèn)識(shí)價(jià)值化。數(shù)學(xué)證明在淺層上帶給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)論的價(jià)值，在更深層面具有數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)與方法論的價(jià)值。在數(shù)學(xué)知識(shí)體系不斷發(fā)展壯大的歷史長(zhǎng)河中，許多學(xué)者以孜孜不倦的探索精神追求運(yùn)用數(shù)學(xué)證明、論證諸多數(shù)學(xué)命題的真實(shí)性，并使之成為邏輯自洽的公理體系，形成了猜測(cè)、猜想、檢驗(yàn)、反例、嘗試、反駁等數(shù)學(xué)證明基本和永恒的品質(zhì)[II]。

3．?dāng)?shù)學(xué)證明使推理意義化。數(shù)學(xué)證明以情境化的方式基于學(xué)生生活環(huán)境的一致性和普遍性與實(shí)踐元素相結(jié)合。人的意向作用是程序運(yùn)作中的非智力因素，邏輯干擾對(duì)其影響不大。從實(shí)踐角度看，數(shù)學(xué)證明不是推理意義的固化痕跡，而是找尋數(shù)學(xué)生命意義的活動(dòng)，在潛移默化中習(xí)得數(shù)學(xué)推理研究方法，使學(xué)生終身受益。

4．?dāng)?shù)學(xué)證明使未知?dú)w真化。數(shù)學(xué)證明是數(shù)學(xué)發(fā)展的必要途徑。數(shù)學(xué)證明在學(xué)科意義上是數(shù)學(xué)與理化自然學(xué)科最主要的區(qū)別，它對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科中對(duì)錯(cuò)未知的猜想進(jìn)行分類：若錯(cuò)誤，則棄之；若正確，則將其轉(zhuǎn)化為命題、定理。數(shù)學(xué)真命題是數(shù)學(xué)證明的可判性與正確性在數(shù)學(xué)發(fā)展上的應(yīng)有之義。

二、數(shù)學(xué)理解下學(xué)習(xí)的價(jià)值意蘊(yùn)

數(shù)學(xué)理解既體現(xiàn)為個(gè)人發(fā)展的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)，也體現(xiàn)為時(shí)代需求的外在選擇。數(shù)學(xué)理解不僅僅將新的概念與命題與先前的概念與命題建立聯(lián)系，而且隨著數(shù)學(xué)理解的不斷深入，學(xué)生能夠通過(guò)數(shù)學(xué)中的推理與證明等對(duì)知識(shí)構(gòu)建認(rèn)知和賦予意義，建立復(fù)雜交錯(cuò)的關(guān)系，創(chuàng)建一個(gè)豐富、整合的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在情境知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程中，學(xué)生體會(huì)和感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，并逐步將知識(shí)本位的單一課程價(jià)值取向轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)情感態(tài)度價(jià)值觀、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力的多維度、綜合性價(jià)值取向的心理過(guò)程‘12]。本文從意義、關(guān)系、能力、情境和認(rèn)知“一體五面”的角度對(duì)數(shù)學(xué)理解下學(xué)習(xí)的價(jià)值意蘊(yùn)進(jìn)行闡述。

（一）意義構(gòu)建優(yōu)化學(xué)習(xí)方式的有效性

從意義角度看，理解實(shí)質(zhì)上是學(xué)生結(jié)合自身的經(jīng)驗(yàn)和理論知識(shí)，在知識(shí)符號(hào)代表的社會(huì)意義中構(gòu)建內(nèi)部的心理表征，進(jìn)而獲得心理意義的過(guò)犁13]。從認(rèn)識(shí)論障礙角度看，理解就是領(lǐng)會(huì)意義的行動(dòng)，理解不可避免地涉及在越來(lái)越詳盡的猜測(cè)和證實(shí)猜測(cè)之間不斷發(fā)展的解釋過(guò)程[14]。

1．?dāng)?shù)學(xué)理解通過(guò)學(xué)生經(jīng)歷復(fù)雜艱辛的心智付出并結(jié)合自身的經(jīng)驗(yàn)構(gòu)建理論知識(shí)的過(guò)程，賦予學(xué)習(xí)方式個(gè)性化。個(gè)體在對(duì)知識(shí)構(gòu)建意義的時(shí)候，由于自身認(rèn)知與經(jīng)驗(yàn)的缺失，學(xué)生對(duì)新舊信息的處理方式常常取決于自我狀態(tài)表現(xiàn)，以此對(duì)信息進(jìn)行再理解與再構(gòu)造，從而實(shí)現(xiàn)構(gòu)建意義與達(dá)成自我理解。這里構(gòu)建意義的過(guò)程其實(shí)就是人們賦予“經(jīng)歷”意義的過(guò)程[15]。這種過(guò)程需要賦予知識(shí)意義并建立一個(gè)具有賦予自我的意義構(gòu)建，以形成獨(dú)具特色的穩(wěn)定的學(xué)習(xí)風(fēng)格。

2．?dāng)?shù)學(xué)理解通過(guò)學(xué)生用自己的語(yǔ)言正確地?cái)⑹龈拍?，超越知識(shí)淺層，深入刻畫(huà)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，解釋概念所揭示的本質(zhì)屬性，構(gòu)建內(nèi)在表征，理解知識(shí)符號(hào)代表的社會(huì)意義與形成的單元結(jié)構(gòu)產(chǎn)生思維活動(dòng)，賦予學(xué)生學(xué)習(xí)思維的意義建構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)潛在問(wèn)題進(jìn)行心理加工以及對(duì)理性觀念的自我創(chuàng)造和澄清。這種自我能保持學(xué)生完成教學(xué)過(guò)程中的基本活動(dòng)，形成知識(shí)取向，這種指向知識(shí)的偏好性的行為方式與行為特征有助于學(xué)習(xí)方式的蛻變。

3．?dāng)?shù)學(xué)理解通過(guò)學(xué)生重建和完善內(nèi)在層次的心理意義，最大限度地激發(fā)求知欲，賦予知識(shí)內(nèi)核的意義構(gòu)建，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)方式的發(fā)展。數(shù)學(xué)知識(shí)體系的構(gòu)建不但需要學(xué)生經(jīng)過(guò)反復(fù)的信息加工、細(xì)致的深度建構(gòu)以及復(fù)雜的高階思維掌握全新的知識(shí)點(diǎn)與技巧，而且需要學(xué)生優(yōu)化自身偏好性的行為，利用新掌握的知識(shí)、技巧處理實(shí)際境域中的復(fù)雜問(wèn)題，并重建自己的認(rèn)知體系，以便對(duì)發(fā)生根本變化的境域作出適宜的反應(yīng)。

（二）關(guān)系聯(lián)結(jié)突破學(xué)習(xí)策略的指向性

從關(guān)系角度看，學(xué)生不僅要把握世界中的一種真實(shí)關(guān)系，而且要有能力將真實(shí)的關(guān)系與其他可能卻并不存在的關(guān)系區(qū)分開(kāi)來(lái)[16]，可能關(guān)系就構(gòu)成了“模態(tài)空間”[17]。認(rèn)知者掌握的“模態(tài)空間”越大，他對(duì)某個(gè)對(duì)象的理解就越深。

1．?dāng)?shù)學(xué)理解通過(guò)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念間關(guān)系內(nèi)涵的深刻理解對(duì)概念外延的精準(zhǔn)掌握以及對(duì)概念內(nèi)部關(guān)系的清晰表述來(lái)實(shí)現(xiàn)，這意味著以概念關(guān)系為核心的意義復(fù)原與生成過(guò)程[18]。構(gòu)建過(guò)程的關(guān)系聯(lián)結(jié)規(guī)定著數(shù)學(xué)思維范式的生成方式，這種生成性能保持學(xué)生“有意識(shí)地將學(xué)習(xí)方法和技巧運(yùn)用到學(xué)習(xí)過(guò)程中，并能夠?qū)W(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行調(diào)控”[19]。這種指向過(guò)程調(diào)控的外顯操作過(guò)程或內(nèi)隱規(guī)則系統(tǒng)有助于學(xué)習(xí)策略的突破。

2．在同一個(gè)數(shù)學(xué)概念的各個(gè)表征形態(tài)之中，或者在同一表征形態(tài)的相關(guān)概念之中，一旦形成了概念內(nèi)部表征之間的關(guān)聯(lián)，就會(huì)形成理解的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)的關(guān)系聯(lián)結(jié)，從而幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)與關(guān)鍵能力的關(guān)聯(lián)，將不同類事物賦予聯(lián)系。同時(shí)在這種關(guān)系聯(lián)結(jié)作用下，促進(jìn)學(xué)生從編碼系統(tǒng)中，通過(guò)過(guò)程調(diào)控形成具有意義的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，及時(shí)調(diào)整學(xué)習(xí)策略，把握知識(shí)所蘊(yùn)含的思想方法、理性品質(zhì)以及精神價(jià)值。

3．學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中由淺入深地理解數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)之間的內(nèi)部表征和現(xiàn)有學(xué)科知識(shí)網(wǎng)絡(luò)與數(shù)學(xué)相關(guān)信息之間的交叉表征，能幫助學(xué)生順利進(jìn)行知識(shí)遷移，并提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解。對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)概念、方法或事實(shí)徹底地理解，需要多方位、多角度、多維度地把握數(shù)學(xué)關(guān)系，使它和現(xiàn)有的網(wǎng)絡(luò)以更強(qiáng)的或更多的聯(lián)系相聯(lián)結(jié)[20]，這樣有助于學(xué)生獲得更好的學(xué)習(xí)策略。

（三）能力確立達(dá)成學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的自我性

從能力角度看，數(shù)學(xué)理解是一種結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)能力，是在學(xué)習(xí)過(guò)程中表現(xiàn)出的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的個(gè)性特征[21]。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)獲取結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力尤為重要。關(guān)鍵能力是指?jìng)€(gè)體適應(yīng)生活情境需求所不可或缺的知識(shí)、技能和態(tài)度，是可持續(xù)發(fā)展的關(guān)鍵，是與“專業(yè)能力”并行的兩大“職業(yè)能力”影響因素22]。本文所說(shuō)的關(guān)鍵能力主要是指向能力、基礎(chǔ)能力、高階能力。

1．指向能力確立激發(fā)學(xué)習(xí)需要的生成。通過(guò)應(yīng)用演繹、歸納和類比進(jìn)行推理、分解、組合，幫助學(xué)生尋找與設(shè)計(jì)合理的學(xué)習(xí)手段，從學(xué)科視角對(duì)接學(xué)生能力中的認(rèn)識(shí)能力、合作能力以及創(chuàng)新能力[23]，構(gòu)建指向能力。同時(shí)，通過(guò)對(duì)情境以及與之關(guān)聯(lián)問(wèn)題的探索，引起認(rèn)知沖突，引發(fā)思辨，利用情感促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使之更符合學(xué)生認(rèn)知的心理發(fā)展規(guī)律，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需求。

2．基礎(chǔ)能力確立誘發(fā)學(xué)習(xí)期待的愿景。學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)理解對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)格化與泛在化等產(chǎn)生大量的情感聯(lián)系，并由此促使學(xué)生形成表達(dá)數(shù)學(xué)概念與情境的能力，而這些能力都與某種普遍性的、生成式的和特定表征的數(shù)學(xué)現(xiàn)象互相聯(lián)系，對(duì)推理、推斷、遷移與應(yīng)用等都至關(guān)重要，是人的認(rèn)識(shí)發(fā)展過(guò)程以及人類整個(gè)智力發(fā)展進(jìn)程的重要基石。同時(shí)，通過(guò)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)學(xué)層面上發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問(wèn)題的連貫性能力，使學(xué)生能夠更好地理解和應(yīng)用問(wèn)題所蘊(yùn)含的潛在數(shù)學(xué)知識(shí)，產(chǎn)生解決較高難度問(wèn)題的心理期待，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的愿景。

3．高階能力確立構(gòu)建學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的達(dá)成。數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)能影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效率、心理傾向，使學(xué)生掌握處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的技能，并在不同的教學(xué)情境中獲得理解、判斷的相關(guān)能力。在高階能力的構(gòu)建中，培養(yǎng)學(xué)生能夠以數(shù)學(xué)之視發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，以數(shù)學(xué)之思分析問(wèn)題，以數(shù)學(xué)之語(yǔ)表達(dá)問(wèn)題，將知識(shí)轉(zhuǎn)化為抽象思維、邏輯能力，以此來(lái)達(dá)成學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生必備品格與核心價(jià)值觀的培養(yǎng)，為知識(shí)的深度理解與實(shí)踐創(chuàng)新提供動(dòng)力源。

（四）情境踐行改善學(xué)習(xí)態(tài)度的養(yǎng)成性

從情境角度看，數(shù)學(xué)理解是人們?cè)诠餐那榫郴纳鐣?huì)實(shí)踐中持續(xù)協(xié)商產(chǎn)生的，通過(guò)主體對(duì)客觀結(jié)構(gòu)的心理運(yùn)算，形成一種整體的、動(dòng)態(tài)的、層次的、超驗(yàn)回歸的心理過(guò)程[24]。要?jiǎng)?chuàng)設(shè)良好的數(shù)學(xué)課堂情境，需要教師對(duì)情境價(jià)值有深刻的領(lǐng)會(huì)和理解‘25]?！扒椤本褪钦n堂中因?yàn)閱?wèn)題而產(chǎn)生的情感氛圍，“境”就是由問(wèn)題建構(gòu)的一個(gè)學(xué)習(xí)域[26]。

1．真實(shí)情境孕育探究態(tài)度。通過(guò)人的思維活動(dòng)與行為所賴以依存的真實(shí)世界中的情境，營(yíng)造一個(gè)讓學(xué)生更愿意全力投身探究本原問(wèn)題的氛圍，引導(dǎo)學(xué)生從不滿足于已有的答案或結(jié)果出發(fā)積極探究全新的問(wèn)題，尋求更富有可能性解決問(wèn)題的思維方法，培育創(chuàng)造精神，形成不斷探索的態(tài)度。

2．協(xié)商情境穩(wěn)固態(tài)度內(nèi)涵。意義是學(xué)生內(nèi)在的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新認(rèn)識(shí)的心理表征的聯(lián)系，是人們?cè)诠餐那榫郴纳鐣?huì)實(shí)踐中持續(xù)協(xié)商產(chǎn)生的，是主體對(duì)客觀結(jié)構(gòu)的心理運(yùn)算。構(gòu)建協(xié)商的情境，學(xué)生會(huì)經(jīng)歷數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)生的情境，感受認(rèn)知生成過(guò)程中的情感態(tài)度，獲得豐富的感性體驗(yàn)與系統(tǒng)科學(xué)的數(shù)學(xué)認(rèn)知。這種情感能讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)保持較為持久的肯定或否定的行為傾向，鑄就穩(wěn)定的認(rèn)知態(tài)度。

3．現(xiàn)實(shí)情境提供態(tài)度改善的實(shí)踐場(chǎng)。數(shù)學(xué)理解在實(shí)踐場(chǎng)中通過(guò)觀察猜想、歸納推理、類比聯(lián)想、關(guān)聯(lián)化歸、概括反思等一系列思維形式，使學(xué)生獲得發(fā)展。在這一實(shí)踐場(chǎng)中，學(xué)生的認(rèn)知、技能、經(jīng)驗(yàn)、情緒、動(dòng)機(jī)、價(jià)值觀、情感等構(gòu)成了數(shù)學(xué)理解的情境。從情感角度看，學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的擔(dān)心、懼怕、憂慮、信心、動(dòng)機(jī)以及認(rèn)同與歸屬感等體驗(yàn)，可以通過(guò)數(shù)學(xué)理解改善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度。

（五）認(rèn)知默化發(fā)展學(xué)習(xí)智慧的生成性

從認(rèn)知角度看，數(shù)學(xué)理解是一個(gè)認(rèn)知內(nèi)在默化的心理過(guò)程，是將新舊知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)聯(lián)系的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中一個(gè)靜態(tài)的概念被獲得并應(yīng)用[27]。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，認(rèn)知的內(nèi)部表示和外部表示構(gòu)成了理解的框架，理解是一種認(rèn)知狀態(tài)。在布盧姆看來(lái)，教育的六種認(rèn)知過(guò)程是對(duì)知識(shí)保持與遷移的過(guò)程[28]。

1．從數(shù)學(xué)知識(shí)的最初狀態(tài)到數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的獲得，數(shù)學(xué)理解不僅幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號(hào)、概念、公式與定理，而且把具有抽象性和邏輯性的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與具有學(xué)生感知、記憶、思維和想象的心理結(jié)構(gòu)融合起來(lái)，幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)整體化、有序化與網(wǎng)絡(luò)化，獲得具有整合的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，突破現(xiàn)有學(xué)習(xí)框架的束縛，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)智慧的可能。

2．學(xué)生以原有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、信念為背景自己去建構(gòu)知識(shí)，在開(kāi)放的學(xué)習(xí)環(huán)境中，主動(dòng)、自主地選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容，全面深刻地理解數(shù)學(xué)的性質(zhì)、規(guī)律以及內(nèi)在本質(zhì)，將零散、混雜、無(wú)序的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行關(guān)聯(lián)化、結(jié)構(gòu)化和模式化，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)領(lǐng)域松散型主題的融通以及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、關(guān)鍵能力、核心價(jià)值觀和學(xué)習(xí)智慧的共生，促進(jìn)數(shù)學(xué)的科學(xué)、審美、文化和應(yīng)用價(jià)值的統(tǒng)一，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)智慧的可生。

3．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生不斷調(diào)控自己的情緒、策略、技能等，結(jié)合自己的感知、記憶、思維、想象和言語(yǔ)了解心理、意義賦予的形成機(jī)制，構(gòu)建具有可利用、可辨別、穩(wěn)定的整體知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)高水準(zhǔn)達(dá)成自我境界的綜合能力。了解學(xué)習(xí)本質(zhì)和概念，將知識(shí)轉(zhuǎn)化為智慧和能力，在具體的學(xué)習(xí)情境中選擇合適的認(rèn)知與有效的學(xué)習(xí)策略，并將知識(shí)遷移到新的學(xué)習(xí)情境中，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)智慧的可用。

三、數(shù)學(xué)理解下學(xué)習(xí)的發(fā)展路徑

數(shù)學(xué)理解是一系列思維活動(dòng)，是思維主體在宏觀和微觀上了解思維認(rèn)知結(jié)構(gòu)、多維度把握數(shù)學(xué)關(guān)系、對(duì)認(rèn)知意義進(jìn)行深度賦予的過(guò)程。通過(guò)數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)反思、數(shù)學(xué)情境等路徑發(fā)展數(shù)學(xué)理解能力，實(shí)現(xiàn)概念結(jié)構(gòu)化、命題系統(tǒng)化、推理嚴(yán)謹(jǐn)化與證明有序化，將它們連成線、鋪成面與結(jié)成網(wǎng)，從而培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

（一）數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)生成數(shù)學(xué)理解中學(xué)習(xí)的有效性

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在發(fā)生機(jī)制上體現(xiàn)為充滿好奇心與想象力的沉浸式學(xué)習(xí)，在行為進(jìn)程上呈現(xiàn)為研究知識(shí)關(guān)系與結(jié)構(gòu)的理解性學(xué)習(xí)。這種理解的發(fā)生是通過(guò)設(shè)計(jì)獲得應(yīng)用知識(shí)或信息加工的過(guò)程，在分析語(yǔ)言和心理的變化過(guò)程中重構(gòu)本來(lái)意愿。數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)指向數(shù)學(xué)理解的技術(shù)結(jié)構(gòu)層面，是發(fā)展的有效環(huán)節(jié)。

1．生成結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)。數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)指向知識(shí)的學(xué)習(xí)必須是結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，因?yàn)橹挥性趦?nèi)容結(jié)構(gòu)化中進(jìn)行的問(wèn)題處理才能夠提升學(xué)生的基本技能與必備素質(zhì)。因此，每一個(gè)單元教學(xué)設(shè)計(jì)需要從思考期望學(xué)生“學(xué)會(huì)什么”出發(fā)，到證明“學(xué)生何以學(xué)會(huì)”，最后在“實(shí)現(xiàn)理解”的實(shí)踐活動(dòng)中獲得新的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能。

2．生成整體中的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)。數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)特的邏輯性表明，零散的數(shù)學(xué)知識(shí)在抽象思維的帶領(lǐng)下可以透過(guò)其背后的隱喻來(lái)探索其關(guān)聯(lián)性，認(rèn)清知識(shí)系統(tǒng)內(nèi)部有序的推論。數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)促進(jìn)數(shù)學(xué)理解發(fā)生的教學(xué)過(guò)程是圍繞一定整體性的單元知識(shí)展開(kāi)的，鼓勵(lì)學(xué)生從被動(dòng)學(xué)習(xí)走向主動(dòng)學(xué)習(xí)，潛在地推動(dòng)學(xué)科內(nèi)在知識(shí)體系的構(gòu)建，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的延展創(chuàng)造。

3．生成發(fā)展中的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)。學(xué)生是發(fā)展中的人，隨著學(xué)生心智的發(fā)展，已有經(jīng)驗(yàn)將不再滿足學(xué)生的需要，因此教學(xué)設(shè)計(jì)要處于不斷的發(fā)展變化中。數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生體悟知識(shí)發(fā)展的動(dòng)因，滿足學(xué)生發(fā)展的需求，在大單元、大概念、大學(xué)科導(dǎo)引過(guò)程中突出學(xué)生未來(lái)發(fā)展的需要，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)興趣和愛(ài)好養(yǎng)成、學(xué)習(xí)信心增強(qiáng)、學(xué)習(xí)觀念提升、學(xué)習(xí)習(xí)慣培養(yǎng)、學(xué)習(xí)熱情激發(fā)等，以發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力。

4．生成交互中的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)。數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)生是雙邊交互的過(guò)程，是教師的教與學(xué)生的學(xué)統(tǒng)一的過(guò)程。數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)旨在促進(jìn)數(shù)學(xué)理解在師生數(shù)學(xué)活動(dòng)互動(dòng)中生成，通過(guò)教師對(duì)數(shù)學(xué)資源的引導(dǎo)，滿足學(xué)生對(duì)認(rèn)知和自我實(shí)現(xiàn)的需要，有利于學(xué)生自主學(xué)習(xí)動(dòng)力的內(nèi)生。

（二）數(shù)學(xué)抽象強(qiáng)化數(shù)學(xué)理解中學(xué)習(xí)的核心質(zhì)

數(shù)學(xué)理解需要學(xué)生在抽象思維中沉浸式理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，目的是激勵(lì)學(xué)生不斷探索、創(chuàng)新，并掌握知識(shí)的意義和價(jià)值，力求讓學(xué)生做到學(xué)習(xí)知識(shí)不浮于表面低層次的外在表征，能深入本質(zhì)通達(dá)高層次的內(nèi)部表征。數(shù)學(xué)抽象指向數(shù)學(xué)理解中學(xué)習(xí)價(jià)值的思維結(jié)構(gòu)層面，是其發(fā)展的核心特質(zhì)。

1．強(qiáng)化歸納中的數(shù)學(xué)抽象。歸納是從特殊到一般原理的思維方式，是學(xué)生總結(jié)提煉經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象特例的分析，比較、判斷數(shù)學(xué)對(duì)象具有普遍本質(zhì)和規(guī)律，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從量或形的視角，去觀察、理解現(xiàn)實(shí)的思維對(duì)象，從而使個(gè)體在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中獲得對(duì)心理意義的深刻認(rèn)識(shí)和對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的深度理解。

2．強(qiáng)化演繹中的數(shù)學(xué)抽象。演繹是由一般到特殊原理的思維方式，是尋求前提與結(jié)論之間充要條件的過(guò)程。通過(guò)假設(shè)命題運(yùn)用邏輯規(guī)則假設(shè)另一個(gè)命題，利用層次性、理想化、形式化、符號(hào)化等手段抽象提取本質(zhì)屬性，從而產(chǎn)生創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維，達(dá)成學(xué)生邏輯思維與直覺(jué)思維的統(tǒng)一，幫助學(xué)生形成有意義的、自我反思的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀態(tài)，遠(yuǎn)離固化的、機(jī)械式的淺層學(xué)習(xí)。

3．強(qiáng)化類比中的數(shù)學(xué)抽象。類比是從未知與已知的比較出發(fā)推測(cè)知識(shí)屬性的一致性或相異性，是平行性思維遷移的過(guò)程。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)間主要性質(zhì)特征的推理，在探究知識(shí)之間聯(lián)系的過(guò)程中理解新知，經(jīng)由自主思考、提出質(zhì)疑、爭(zhēng)辯討論來(lái)促進(jìn)知識(shí)的裂解、聚合和遷移，將學(xué)生培養(yǎng)成善于獨(dú)立思考、敢于質(zhì)疑、能夠批判地進(jìn)行分析和評(píng)價(jià)、主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)體系、靈活地處理問(wèn)題以及創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的高素質(zhì)人才。

4．強(qiáng)化直覺(jué)中的數(shù)學(xué)抽象。直覺(jué)是人的大腦不經(jīng)過(guò)分析推理而對(duì)事物的直接感覺(jué)，是知覺(jué)的直接洞察。通過(guò)在以往數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)理解的共鳴中探尋數(shù)學(xué)真理的本質(zhì)而產(chǎn)生的直覺(jué)，有利于學(xué)生不受傳統(tǒng)思維的禁錮，從整體上把握數(shù)學(xué)問(wèn)題，掌握數(shù)學(xué)的精髓，為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供預(yù)見(jiàn)性的指引，展示數(shù)學(xué)思維的前瞻性。

（三）數(shù)學(xué)探究夯實(shí)數(shù)學(xué)理解中學(xué)習(xí)的途徑源

理解問(wèn)題需要知識(shí)相互整合，涉及各科知識(shí)以及不同知識(shí)收集手段的融合。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求學(xué)生在多個(gè)知識(shí)之間展開(kāi)聯(lián)系和探究，把現(xiàn)有的認(rèn)知轉(zhuǎn)化到全新的情境中，以達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與持續(xù)掌握，獲得數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的發(fā)展。數(shù)學(xué)探究指向關(guān)系聯(lián)結(jié)下數(shù)學(xué)理解中學(xué)習(xí)價(jià)值的實(shí)踐結(jié)構(gòu)層面，是學(xué)生發(fā)展的重要途徑。

1．夯實(shí)能動(dòng)中的數(shù)學(xué)探究。學(xué)生的能動(dòng)性主要體現(xiàn)在從傳統(tǒng)的知識(shí)接受者向自覺(jué)的學(xué)習(xí)主體轉(zhuǎn)變，是學(xué)生主體對(duì)外部數(shù)學(xué)知識(shí)的刺激做出的積極應(yīng)答。數(shù)學(xué)探究幫助學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中，基于已有的認(rèn)知自主地思辨、質(zhì)疑與審視、批判，發(fā)揮主觀能動(dòng)性促進(jìn)數(shù)學(xué)理解發(fā)生，并有效結(jié)合外界學(xué)習(xí)任務(wù)，形成對(duì)一個(gè)有著共同特點(diǎn)或相似特性的知識(shí)點(diǎn)群之間的關(guān)聯(lián)性理解。

2．夯實(shí)問(wèn)題中的數(shù)學(xué)探究。數(shù)學(xué)問(wèn)題是學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中通過(guò)已有經(jīng)驗(yàn)而無(wú)法解決的情景狀態(tài)，是激發(fā)學(xué)生探討的對(duì)象。數(shù)學(xué)探究幫助學(xué)生通過(guò)探究型的教與學(xué)，揭示數(shù)學(xué)概念和定義的本質(zhì)與非本質(zhì)關(guān)系，運(yùn)用發(fā)散思維將數(shù)學(xué)知識(shí)間所蘊(yùn)含的多個(gè)深層關(guān)聯(lián)進(jìn)行延伸并拓展深化，逐步加深對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)與理解，激發(fā)解題的興趣、拓寬解題的思路，促進(jìn)對(duì)問(wèn)題的深度理解。

3．夯實(shí)遷移中的數(shù)學(xué)探究。數(shù)學(xué)遷移是學(xué)生新舊知識(shí)之間的連接，是一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響。數(shù)學(xué)探究幫助學(xué)生將傳統(tǒng)碎片化、封閉的知識(shí)結(jié)構(gòu)，變?yōu)橄到y(tǒng)性、連貫的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并通過(guò)思維演繹、提取應(yīng)用和知識(shí)創(chuàng)新，將知識(shí)和方法遷移到真實(shí)情境，讓新知情境成為問(wèn)題求解的主體，為學(xué)生指明了由熟知情境到陌生情境的認(rèn)知轉(zhuǎn)化。同時(shí)，在學(xué)習(xí)過(guò)程中形成的行為規(guī)范和價(jià)值觀以不同形式遷移到日常生活中，形成良性循環(huán)。

4．夯實(shí)應(yīng)用中的數(shù)學(xué)探究。數(shù)學(xué)應(yīng)用是學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)數(shù)學(xué)實(shí)用價(jià)值的體驗(yàn)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本目的。數(shù)學(xué)探究幫助學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活情境中理解、思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，分離生活元素與數(shù)學(xué)元素，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，深入挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而找到數(shù)學(xué)應(yīng)用核心，理解數(shù)學(xué)的社會(huì)意義與抽象意義，增強(qiáng)責(zé)任意識(shí)與學(xué)習(xí)活力，為人類發(fā)展做出貢獻(xiàn)。

（四）數(shù)學(xué)反思聚焦數(shù)學(xué)理解中學(xué)習(xí)的審視域

教師在評(píng)價(jià)反思中提高教學(xué)質(zhì)量，在教學(xué)反思中改進(jìn)教學(xué)對(duì)策，通過(guò)交流與反思不斷超越自我，將反思教學(xué)實(shí)踐落實(shí)到課堂、落實(shí)到學(xué)生，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)真正的理解。數(shù)學(xué)反思指向數(shù)學(xué)理解中學(xué)習(xí)價(jià)值的能力結(jié)構(gòu)層面，聚焦數(shù)學(xué)理解中學(xué)習(xí)的審視方式。

1．聚焦體驗(yàn)中的數(shù)學(xué)反思。數(shù)學(xué)反思是基于當(dāng)前教育對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)體驗(yàn)與參與、品格與價(jià)值觀以及情感缺失的回應(yīng)，是心靈的反觀自照。學(xué)生通過(guò)體驗(yàn)用數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題，再對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究形成批判認(rèn)知，最終形成獨(dú)立思考、分析和解決問(wèn)題的能力。反思體驗(yàn)的實(shí)質(zhì)是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的再思考、再剖析，在論證、求解的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)到數(shù)學(xué)情感的升華，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極態(tài)度。

2．聚焦評(píng)價(jià)中的數(shù)學(xué)反思。數(shù)學(xué)反思需要考慮學(xué)生的個(gè)人情感、行為態(tài)度與價(jià)值觀，采用持續(xù)性的評(píng)價(jià)方式對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)進(jìn)行合理評(píng)價(jià)，保證對(duì)學(xué)生形成適時(shí)的、及時(shí)的、不間斷的監(jiān)控和管理，以直觀簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言向?qū)W生解釋和表達(dá)數(shù)學(xué)的概念、結(jié)論、應(yīng)用以及思想方法。對(duì)評(píng)價(jià)的反思也可以促進(jìn)評(píng)價(jià)方式的多元化，打破僅靠試題形式的評(píng)價(jià)手段，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生知識(shí)、能力、綜合素質(zhì)的多方面考量，促進(jìn)“五育并舉”的人才培養(yǎng)。

3．聚焦批判中的數(shù)學(xué)反思。數(shù)學(xué)批判是學(xué)生獨(dú)立分析、敢于否定思維品質(zhì)的體現(xiàn)，是凌駕于學(xué)生本身知識(shí)儲(chǔ)備之上的一種質(zhì)疑精神。數(shù)學(xué)反思不僅是一種面向理解基本知能而采用比較判斷與甄別抉擇的學(xué)習(xí)方式，更是學(xué)生對(duì)自己思維過(guò)程及結(jié)果進(jìn)行批判洞察與移情體驗(yàn)的再認(rèn)識(shí)，能促進(jìn)學(xué)生高階知能的發(fā)展、遷移和生成，在假設(shè)猜想、實(shí)際操作、實(shí)踐驗(yàn)證與回顧總結(jié)過(guò)程中，形成具有批判性、創(chuàng)造性與元認(rèn)知、復(fù)雜心智特征的高階思維能力。

4．聚焦監(jiān)控中的數(shù)學(xué)反思。數(shù)學(xué)監(jiān)控是以學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)為對(duì)象，進(jìn)行自覺(jué)的計(jì)劃、檢驗(yàn)、調(diào)節(jié)和管理，是元認(rèn)知領(lǐng)域的范疇。數(shù)學(xué)反思不僅是一種由結(jié)果指向的反思，更是一種過(guò)程性的反思。學(xué)生自發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)各個(gè)時(shí)期進(jìn)行監(jiān)控，能刺激反思頻率的增加，促進(jìn)學(xué)生在不同知識(shí)的縱橫對(duì)比中及時(shí)補(bǔ)充、修正，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的洞察，在反思中不斷進(jìn)步、不斷收獲。

（五）數(shù)學(xué)情境承載數(shù)學(xué)理解中學(xué)習(xí)的情感場(chǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論提倡數(shù)學(xué)教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行情境化，在復(fù)雜情境中把握知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問(wèn)題，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生理解學(xué)習(xí)內(nèi)容與過(guò)程。數(shù)學(xué)情境指向情境踐行下數(shù)學(xué)理解中學(xué)習(xí)價(jià)值的情感結(jié)構(gòu)層面，是學(xué)生發(fā)展的情感承載。數(shù)學(xué)情境的主要任務(wù)就是把已知數(shù)學(xué)關(guān)系轉(zhuǎn)化為需要探索的未知關(guān)系并置于實(shí)際背景中，其核心在于激發(fā)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，形成問(wèn)題空間，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

1．承載本真中的數(shù)學(xué)情境。數(shù)學(xué)本真中的情境是數(shù)學(xué)活動(dòng)在生活中所涉及的實(shí)際問(wèn)題和對(duì)環(huán)境的真實(shí)反映，是數(shù)學(xué)在社會(huì)發(fā)展中的現(xiàn)實(shí)縮影。數(shù)學(xué)情境是通過(guò)交互活動(dòng)產(chǎn)生的真實(shí)情境，而不是抽象或符號(hào)化的虛擬情境。在實(shí)際情境中應(yīng)用知識(shí)，將會(huì)引起認(rèn)知沖突，引發(fā)思辨，通過(guò)判斷分析、邏輯推理等思維培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力。

2．承載實(shí)踐中的數(shù)學(xué)情境。在實(shí)踐中，教師通過(guò)努力追求自身成功或展現(xiàn)個(gè)人能力來(lái)理解和改變環(huán)境。一切實(shí)踐情境從其本質(zhì)來(lái)看都是存在能動(dòng)機(jī)制的人進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng)的情境，是蘊(yùn)含人的能動(dòng)性過(guò)程的實(shí)踐情境。在教學(xué)中，教師通過(guò)自己的積極情緒調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，運(yùn)用自己的知識(shí)、技能和方法等創(chuàng)造性地解決問(wèn)題，達(dá)到最佳教學(xué)效果[32]。

3．承載生活中的數(shù)學(xué)情境。生活是數(shù)學(xué)概念、命題、定理產(chǎn)生的背景，正是生活的需要催生了數(shù)學(xué)的發(fā)展。數(shù)學(xué)情境通過(guò)生活將數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)化成現(xiàn)實(shí)中的實(shí)例，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性、解放性，打破數(shù)學(xué)學(xué)科孤立知識(shí)的壁壘，促進(jìn)多學(xué)科領(lǐng)域情境的結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的跨學(xué)科意識(shí)。

4．承載情感中的數(shù)學(xué)情境。情感是個(gè)體在數(shù)學(xué)活動(dòng)刺激下產(chǎn)生的復(fù)雜心理反應(yīng)，是學(xué)生心靈的真實(shí)寫(xiě)照。數(shù)學(xué)情境利用情感促進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使之更符合學(xué)生認(rèn)知的心理發(fā)展需求。情感是發(fā)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)中的內(nèi)驅(qū)力，不但涉及個(gè)人外顯的情感行為，更符合個(gè)體內(nèi)在的心理活動(dòng)，愉快的情感可以創(chuàng)設(shè)更好的數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)境，從而推動(dòng)數(shù)學(xué)理解的再生。

綜上所述，數(shù)學(xué)理解在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中彰顯了重要的引領(lǐng)作用。在數(shù)學(xué)理解下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)復(fù)雜且內(nèi)隱、多維的心智過(guò)程，是學(xué)習(xí)基礎(chǔ)生成、學(xué)習(xí)價(jià)值涵育、學(xué)習(xí)途徑探尋的核心，是實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量數(shù)學(xué)育人、高水平數(shù)學(xué)教學(xué)以及人才培養(yǎng)的必要條件。同時(shí)，數(shù)學(xué)理解賦予數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)高階性、創(chuàng)新性、鑄魂性，使學(xué)生從中獲得理解及自主學(xué)習(xí)的能力，享受數(shù)學(xué)創(chuàng)造中的樂(lè)趣，達(dá)到內(nèi)化核心素養(yǎng)、外化數(shù)學(xué)精神的教育目的。

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（責(zé)任編輯：彭文彬）

Generation Basis， Value Implication and Development Path

of Learning Under Mathematical Understanding

WU Renfang ZHAO Binru

（Department of Mathematics and Statistics， Hunan Normal University， Changsha， Hunan， 410081， China）

Abstract： Mathematics learning is an effective pathway for leamers to acquire mathematics knowledge and ability，and it is the central issue of mathematics education. Based on the perspective of mathematical understanding， this studyconstructs the generation basis of mathematical leaming from mathematical concepts， propositions， reasoning， and proofs，nurtures the value implication of mathematical learning within the mathematical meaning， relationship ， ability， context， andcogjiition， and explores the development path of mathematical leaming through mathematical design， abstraction， inquiry，reflection， and context， so as to meet the needs of effectiveness， core quality， approach source， review field， and emotionalfield in mathematics leaming.

Key words ： mathematical understanding ; mathematical leaming; mathematicl situation; methematicl design