摘 要：“感悟數(shù)的運算的一致性”，是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對“數(shù)的運算”教學(xué)提出的新要求。數(shù)的運算的一致性主要體現(xiàn)為“整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運算本質(zhì)上都是計算單位的分解與組合”，還體現(xiàn)在從運算關(guān)系的角度看數(shù)系擴充（“由算生數(shù)”）的過程上。為幫助學(xué)生感悟數(shù)的運算的一致性，在“數(shù)的運算”各個單元的教學(xué)中，需要凸顯計數(shù)單位的統(tǒng)整作用；在“數(shù)的運算”總復(fù)習(xí)教學(xué)中，需要梳理“由算生數(shù)”的過程。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；課標(biāo)修訂；數(shù)的運算；計數(shù)單位；數(shù)系擴充

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）修訂，小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域“數(shù)與運算”主題的變化集中體現(xiàn)在：增加“計數(shù)單位”的概念，實現(xiàn)“數(shù)的概念（本質(zhì)上）的一致性”和“數(shù)的運算（本質(zhì)上）的一致性”。［1］

數(shù)的運算的一致性以數(shù)概念的一致性為基礎(chǔ)。在“數(shù)的運算”內(nèi)容的教學(xué)中，如何理解數(shù)的運算的一致性？如何幫助學(xué)生感悟數(shù)的運算的一致性？本文談一談筆者的思考與實踐。

一、如何理解數(shù)的運算的一致性

（一）由數(shù)的意義理解數(shù)的運算的一致性

數(shù)的運算最終要追溯到數(shù)的意義，數(shù)的意義本質(zhì)上均與計數(shù)單位有關(guān)，都是計數(shù)單位的累加，即“幾個計數(shù)單位”。新課標(biāo)中強調(diào)算理，就是強調(diào)基于數(shù)位分解（數(shù)的計數(shù)單位累加本質(zhì)），利用運算律進(jìn)行數(shù)的運算（橫式運算）。［2］因此，數(shù)的運算的一致性主要體現(xiàn)為：整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運算本質(zhì)上都是計數(shù)單位的分解與組合。具體來說，加減法運算的一致性體現(xiàn)為：相同計數(shù)單位的個數(shù)相加減，計數(shù)單位不變。進(jìn)一步看，整數(shù)加減計算是先把每一個數(shù)按照計數(shù)單位進(jìn)行分解，再把相同計數(shù)單位的個數(shù)相加減。

分?jǐn)?shù)加減計算是先統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位再相加減：同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，分子相加減；異分母分?jǐn)?shù)相加減，先化成同分母分?jǐn)?shù)，再相加減。

而小數(shù)加減法計算既可以基于整數(shù)的算法，也可以基于分?jǐn)?shù)的算法——因為小數(shù)實質(zhì)上是分?jǐn)?shù)，但采用了整數(shù)的記數(shù)法。乘除法運算的一致性體現(xiàn)為：計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘除得到新的計數(shù)單位，計數(shù)單位的個數(shù)與計數(shù)單位的個數(shù)相乘除得到新的個數(shù)。需要注意的是，整數(shù)及小數(shù)除法運算中，除數(shù)只能表示為一個計數(shù)單位的累加，不能表示為多個計數(shù)單位的累加，因為沒有合適的運算律可用。

（二）由運算意義理解數(shù)的運算的一致性

乘數(shù)的運算的一致性還體現(xiàn)在運算的意義及其關(guān)系上。加法是所有運算的基礎(chǔ)。加法的實際意義非常自然，就是“合并”——小學(xué)教學(xué)，不需要考慮皮亞諾公理體系中從自然數(shù)和加法開始的數(shù)和運算的形式化定義。因此，加法可以利用對應(yīng)的方法解釋。例如，對于3+1，可以擺小方塊：先擺3個，再擺1個，合在一起是4個，所以3+1=4。減法是加法的逆運算。

例如，3-1=2是由2+1=3產(chǎn)生的。進(jìn)而，為使數(shù)系對減法封閉，引入負(fù)數(shù)；為把減法轉(zhuǎn)化為加法，引入相反數(shù)概念。乘法是加法的簡便運算。例如，整數(shù)乘整數(shù)4×3可以理解為4+4+4。再如，整數(shù)乘分?jǐn)?shù)b×1/a可以理解為b個1a相加。其實，基于分?jǐn)?shù)的意義，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的實際意義也不難理解。除法既是減法的簡便運算，也是乘法的逆運算。它有兩種現(xiàn)實模型：包含除和等分除。以一道包含除問題為例：“10支鉛筆，每人分2支，可以分給幾個人？”通常有兩種計算方法。一是同數(shù)連減：每分一人，減少2支，5次分完。列成減法算式是10-2-2-2-2-2=0。對此，可利用（引入）除法算式簡便表示：10÷2=5。二是由乘引除：由“人數(shù)×每人分得的支數(shù)=總數(shù)”，得算式（5）×2=10，括號里的5即為要求的人數(shù)。通常情況下，列成算式要把已知數(shù)放在等號左邊，未知數(shù)放在等號右邊。因此，需引入（利用）除法算式表示：10÷2=5。進(jìn)而，為使數(shù)系對除法封閉，引入分?jǐn)?shù)；為把除法轉(zhuǎn)化為乘法，引入倒數(shù)概念。實際上，數(shù)系的擴充雖然滿足了運算的封閉性，

但也使運算的實際意義變得不太明顯。這時，運算律的一致性在算法探索中發(fā)揮重要的作用。［3］這樣，運算的意義就打通了四則運算之間的關(guān)系，而衍生出的運算律也進(jìn)一步促進(jìn)了不同數(shù)的運算的一致性。進(jìn)一步，從運算關(guān)系的角度看數(shù)系擴充（“由算生數(shù)”）的過程，也建立了“數(shù)+運算”的整體結(jié)構(gòu)（這也是新課標(biāo)將“數(shù)的認(rèn)識”“數(shù)的運算”兩個主題整合成“數(shù)與運算”一個主題的重要原因），并體現(xiàn)了數(shù)的運算的一致性（比如，分?jǐn)?shù)是數(shù)系擴充來的數(shù)，分?jǐn)?shù)乘除法可以看成兩個整數(shù)除法算式相乘除）。

二、如何幫助學(xué)生感悟數(shù)的運算的一致性

（一）在“數(shù)的運算”各個單元的教學(xué)中，凸顯計數(shù)單位的統(tǒng)整作用

數(shù)的運算一致性的表達(dá)主要依賴“計數(shù)單位”這個核心概念。因此，在“數(shù)的運算”各個單元的教學(xué)中，都要凸顯計數(shù)單位的統(tǒng)整作用。這樣，在最后的復(fù)習(xí)教學(xué)中，便可通過簡單回顧幫助學(xué)生充分感悟數(shù)的運算的一致性。以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，教學(xué)“數(shù)的運算”各個單元（除了一年級上冊的《10以內(nèi)的加法和減法》單元和二年級上冊的《表內(nèi)乘法》《表內(nèi)除法》單元，因為其中的運算不涉及“一”這個最基本的計數(shù)單位以外的計數(shù)單位）時，都應(yīng)該設(shè)計一些凸顯計數(shù)單位統(tǒng)整作用的教學(xué)活動。具體如下頁表1所示。

（二）在“數(shù)的運算”總復(fù)習(xí)教學(xué)中，梳理“由算生數(shù)”的過程

數(shù)的運算一致性的表達(dá)還需借助運算之間的關(guān)系以及“由算生數(shù)”的過程。數(shù)系的擴充最初源于現(xiàn)實的需要，但是最終成為運算封閉性的需要——準(zhǔn)確地說，是逆運算封閉性的需要。小學(xué)數(shù)學(xué)將數(shù)系擴充到了負(fù)數(shù)和分?jǐn)?shù)，但是，不研究負(fù)數(shù)的運算，只研究分?jǐn)?shù)的運算。所以，基于數(shù)的運算一致性的視角，在四則運算的教學(xué)中，要重點關(guān)注除法和乘法之間的關(guān)系以及除法與分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而，要特別關(guān)注分?jǐn)?shù)的除法（這個從計數(shù)單位引發(fā)的一致性來看最不“和諧”的運算），引導(dǎo)學(xué)生基于“除以一個不為0的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”將分?jǐn)?shù)的除法轉(zhuǎn)化為乘法計算，并勾連“整數(shù)除法的試商實際上也是將除法轉(zhuǎn)化為乘法的過程”建立一致性。

在此基礎(chǔ)上，更為重要的是，在“數(shù)的運算”總復(fù)習(xí)教學(xué)中，幫助學(xué)生完整梳理所學(xué)運算之間的關(guān)系以及“由算生數(shù)”的過程。這是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中一條較為隱蔽的線索，需要教師挖掘，可以為初中進(jìn)一步學(xué)習(xí)有理數(shù)和實數(shù)的更多運算（如乘方、開方）做好鋪墊［4］。具體來說，可以從簡單的加法算式（如9+3=12）開始，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想減法算式（如12-3=9，12-9=3），體會減法是加法的逆運算；進(jìn)而把加法算式改寫為同數(shù)相加的情況（如3+3+3+3=12），啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想乘法和除法算式（如3×4=12，12÷4=3，12÷3=4），體會乘法是加法的簡便運算，除法是乘法的逆運算。由此，可以引導(dǎo)學(xué)生回顧當(dāng)初學(xué)習(xí)有關(guān)算式時的情景，通過交流，從整體上理解加、減、乘、除的意義及關(guān)系。接著，便可從運算關(guān)系的角度引導(dǎo)學(xué)生初步體會“由算生數(shù)”的過程：如果數(shù)學(xué)中只討論加法和乘法，那么，自然數(shù)就夠了，但是，如果要討論減法呢？顯然，負(fù)數(shù)的產(chǎn)生立即成為必要，即負(fù)數(shù)的產(chǎn)生也是為了解決“不夠減”的實際問題。同樣地，如果要討論除法，也非常有必要引入新的數(shù)。兩個整數(shù)相除，有時不能得到整數(shù)商；在結(jié)果唯一的前提下，為了保證除法運算通行無阻，分?jǐn)?shù)便應(yīng)運而生。由此，學(xué)生不難理解：在數(shù)系從自然數(shù)擴充到有理數(shù)的過程中，“實踐需要”所起的推動作用顯得更小， 而更多的是數(shù)學(xué)運算的需要。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 史寧中.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂與核心素養(yǎng)［J］.教育研究與評論，2022（5）：2627.

［2］ 呂世虎，顏飛.新課標(biāo)“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容分析：從結(jié)構(gòu)到要求［J］.教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2022（11）：11.

［3］ 吳增生.“有理數(shù)”單元教學(xué)研究：在教育神經(jīng)科學(xué)視野下［J］.教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2022（4）：51.

［4］ 汪瑩.“數(shù)的認(rèn)識”小初銜接教學(xué)探索［J］.教育研究與評論，2023（8）：31.