“從梯子的傾斜程度談起（一）”課例分析與感悟

趙冬艷

摘 要 以層層深入的問(wèn)題為載體，以學(xué)生的探究活動(dòng)為主線，對(duì)正切的數(shù)學(xué)含義進(jìn)行深入探究，啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考，深度參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，逐步滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和構(gòu)造直角三角形的意識(shí)。

關(guān)鍵詞 正切 自主探究 轉(zhuǎn)化思想 概念教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2016）19-0016-03

“第四屆新世紀(jì)杯全國(guó)初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評(píng)比活動(dòng)”在濟(jì)南舉行，筆者有幸參加了這次評(píng)比活動(dòng)，并且憑借《北師大版九年級(jí)下冊(cè)第一章《直角三角形的邊角關(guān)系》的第一節(jié)《從梯子的傾斜程度談起》的第一課時(shí)獲得了說(shuō)課組一等獎(jiǎng)的榮譽(yù)，特別是本節(jié)課的自創(chuàng)“旗桿”引例和“三個(gè)層次的探究問(wèn)題”的設(shè)計(jì)，得到了專(zhuān)家們的一致好評(píng)?，F(xiàn)呈現(xiàn)這節(jié)課的教學(xué)片斷與分析，并引發(fā)對(duì)概念探究課教學(xué)的幾點(diǎn)感悟。

一、教學(xué)片斷分析

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

（多媒體演示生活中的一個(gè)具體問(wèn)題）

有一個(gè)旗桿AB，在地面上旗桿AB的左側(cè)找到一點(diǎn)C，測(cè)量出BC的長(zhǎng)度為8米，同時(shí)測(cè)量出∠ACB等于55埃隳芮蟪銎旄薃B的高度么？

【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)生活中一個(gè)簡(jiǎn)單具體的問(wèn)題情境，拉近了研究的問(wèn)題與學(xué)生間的距離，同時(shí)也使學(xué)生對(duì)所研究的問(wèn)題有了豐富的感性認(rèn)識(shí)，為深入研究奠定基礎(chǔ)。

2.探索新知，理解概念

探究一：（1）如圖，一把梯子斜靠在墻上?；瑒?dòng)前（圖中AB）與滑動(dòng)后（圖中A′B′）的位置的梯子，哪一個(gè)更陡些？（2）你是根據(jù)什么判斷的？如何描述梯子在兩個(gè)不同位置的具體的傾斜程度呢？

探究發(fā)現(xiàn)一：傾斜角越大，梯子越陡。

探究二：①在圖1中，梯子AB和梯子EF哪個(gè)更陡，你是怎樣判斷的？你有幾種判斷方法？

[生1]（如圖1-1）我們可以把AB向右平移，把兩個(gè)梯子放在同一個(gè)墻上，通過(guò)比較傾斜角的大小來(lái)比較兩個(gè)梯子哪個(gè)更陡。過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線交于點(diǎn)G，所以∠ABC=∠EGD，那么我們要看這兩個(gè)梯子誰(shuí)陡，就是要看∠EGD和∠EFD誰(shuí)大。因?yàn)椤鰽BC≌△EGD，所以GD=BC=2.5m>DF，即點(diǎn)G在DF的延長(zhǎng)線上，那么∠EFD是△EGF的外角，外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角，所以∠EFD>∠EGD，即EF更陡。

②在圖2中，梯子AB和EF哪個(gè)更陡？你是怎樣判斷的？

[生2]（如圖2-1）和剛才的方法類(lèi)似，過(guò)點(diǎn)F作AB的平行線交于點(diǎn)G，所以∠ABC=∠GFD，而∠EFD>∠GFD，所以梯子EF更陡。

③那么在下圖3中，梯子AB和EF哪個(gè)更陡？你又是怎樣判斷的？

[師]我們觀察圖3發(fā)現(xiàn)兩個(gè)梯子的鉛直高度和水平寬度都不相同，而且兩個(gè)梯子的傾斜角度也很接近，要判斷哪個(gè)梯子更陡就比較困難了。下面，請(qǐng)同學(xué)們先獨(dú)立思考，再分小組討論，最后請(qǐng)每個(gè)小組派一名代表闡述你們組的解決方法。

[生3] （如圖3-1）在AC上截取CG=DE，過(guò)點(diǎn)G作GH平行于AB，則△CGH∽△CAB，由相似的性質(zhì)可求出CH的長(zhǎng)，將CH與DF的長(zhǎng)度進(jìn)行比較，就轉(zhuǎn)化到問(wèn)題一，從而可求。

[師]這位同學(xué)巧用相似形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較水平寬度，非常好掌聲送給他！同學(xué)們?cè)賮?lái)觀察這些圖中所給的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的規(guī)律對(duì)你有什么啟示？

[生4] 我發(fā)現(xiàn)在圖1中>，所以EF更陡；在圖2中>，所以EF更陡； 在圖3中>，同樣我們驗(yàn)證了EF更陡。所以鉛直高度與水平寬度的比值越大，梯子越陡。

[師]太棒了，這位同學(xué)運(yùn)用類(lèi)比歸納的方法，發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。所以我們可以通過(guò)計(jì)算鉛直高度與水平寬度的比值來(lái)比較梯子的傾斜程度。而這種方法也簡(jiǎn)單易行。

④那么在圖4中，梯子AB和EF哪個(gè)更陡呢？[生5]因?yàn)?=2，所以兩個(gè)梯子一樣陡。于是得到：鉛直高度與水平寬度的比越大，梯子越陡。

（多媒體演示，梯子上升變陡的動(dòng)畫(huà)） 探究發(fā)現(xiàn)二：鉛直高度與水平寬度的比越大，梯子越陡。

[師]“傾斜角”以及“鉛直高度與水平寬度的比值”既然都能用來(lái)判斷梯子的傾斜程度，那么它們兩者之間是否存在著某種固定的關(guān)系呢？我們繼續(xù)探究。

探究三：如圖，若小明不能順利測(cè)量梯子頂端到墻腳的距離了B1C1，進(jìn)而無(wú)法刻畫(huà)梯子的傾斜程度，他該怎么辦？你有什么好辦法？

[生6]將梯子的長(zhǎng)度測(cè)量出來(lái)，再將梯子下端到墻角的距離測(cè)量出來(lái)，用勾股定理求出鉛直高度，再用鉛直高度與水平寬度的比來(lái)刻畫(huà)。[師]這種方法可行，還有沒(méi)有其他的辦法？

[生7]找一適當(dāng)?shù)奈恢茫谷说念^頂剛好處在梯子上，另一同學(xué)測(cè)出他的身高及腳到梯子下端的距離，用鉛垂高度與水平寬度的比來(lái)刻畫(huà)該梯子的傾斜程度。

[師]這位同學(xué)的做法可以么？下面我們把這一問(wèn)題抽象成幾何問(wèn)題。

提出問(wèn)題：（1）直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么關(guān)系？（2）和有什么關(guān)系？（3）若改變B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么結(jié)論？

[生8]由圖可知，B2C2⊥AC2，B1C1⊥AC1，得B2C2//B1C1，所以Rt△AB1C1∽R(shí)t△AB2C2。由相似三角形的性質(zhì)可得出：=。[師]如果改變B2在梯子上的位置，上面的兩問(wèn)還成立么？由此你能得出什么結(jié)論。（多媒體演示B2在梯子上的不同位置時(shí)的情況）

[師] B2在變化的過(guò)程中，∠A和始終沒(méi)變，在∠A所在的直角三角形中，B2C2叫∠A的對(duì)邊，AC2叫∠A的鄰邊，當(dāng)∠A確定時(shí)，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值也隨之確定，也就是說(shuō)，這一比值只與∠A有關(guān)，而與∠A所在的直角三角形的大小無(wú)關(guān)。

探究發(fā)現(xiàn)三：當(dāng)傾斜角確定時(shí)，它的對(duì)邊與鄰邊的比值也唯一確定。

【設(shè)計(jì)意圖】理解正切的數(shù)學(xué)含義是本節(jié)的重點(diǎn)，因此我在引出正切概念這部分設(shè)計(jì)了三個(gè)探究活動(dòng)，從三個(gè)層次逐步闡明了正切的數(shù)學(xué)含義。探究一：感受傾斜角能刻畫(huà)梯子的傾斜程度。探究二：感受鉛直高度與水平寬度之比能刻畫(huà)梯子傾斜程度，這是本節(jié)課的難點(diǎn)。為了突破難點(diǎn)，我設(shè)計(jì)了四個(gè)環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題，然后通過(guò)多媒體動(dòng)畫(huà)演示，加深學(xué)生對(duì)這一結(jié)論的理解。探究三：感受傾斜角和鉛直高度與水平寬度之比的關(guān)系，從而建立正切的概念。

在靈活運(yùn)用，延伸拓展這一環(huán)節(jié)，只設(shè)計(jì)了一個(gè)例題和兩個(gè)練習(xí)，例題不但鞏固了正切的定義，而且自然地引入了坡度的概念，起到了承上啟下的作用。兩個(gè)練習(xí)幫助學(xué)生充分理解坡度的概念，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生構(gòu)造直角三角形的意識(shí)。

最后通過(guò)本節(jié)所學(xué)的知識(shí)解決了引例中提出的問(wèn)題，做到前后呼應(yīng)，從問(wèn)題的提出到問(wèn)題的解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又服務(wù)于生活的思想。

二、關(guān)于概念探究課教學(xué)的幾點(diǎn)感悟

本節(jié)課經(jīng)過(guò)多次打磨后，我體會(huì)到要上好一節(jié)概念課，需要注意以下幾點(diǎn)：

1.概念探究課的問(wèn)題引入要貼近現(xiàn)實(shí)且能突出主題

《課標(biāo)（2011年版）》指出，素材的選用應(yīng)當(dāng)充分考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這些素材應(yīng)當(dāng)在反映教學(xué)本質(zhì)的前提下，盡可能地貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)以利于他們經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的過(guò)程。因此在引課環(huán)節(jié)，我設(shè)計(jì)了一個(gè)簡(jiǎn)單有趣的生活中求旗桿高度的問(wèn)題，不但讓學(xué)生體會(huì)到本章知識(shí)是在學(xué)習(xí)了直角三形邊之間的關(guān)系和角之間的關(guān)系的基礎(chǔ)之上的繼續(xù)，而且拉近學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生之間的距離，這樣的設(shè)計(jì)即體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又服務(wù)于生活的思想，又自然的體現(xiàn)了本章的主題，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

2.概念探究課應(yīng)注重概念的形成過(guò)程

概念形成是概念學(xué)習(xí)歷程中非常重要的一部分，也是思維過(guò)程中最復(fù)雜的部分，如何把握好這部分教學(xué)，讓學(xué)生真正理解概念，我認(rèn)為要做到以下幾點(diǎn)：

（1）設(shè)計(jì)逐層遞進(jìn)的探究活動(dòng)

《課標(biāo)（2011年版）》指出，教學(xué)中注重結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要途徑。本節(jié)課設(shè)計(jì)的三個(gè)層層遞進(jìn)的探究活動(dòng)，讓學(xué)生逐步掌握重點(diǎn)內(nèi)容，突破了難點(diǎn)。同時(shí)學(xué)生的積極性被充分的調(diào)動(dòng)了起來(lái)，達(dá)到了預(yù)設(shè)的目標(biāo)。

（2）課堂練習(xí)不宜過(guò)多過(guò)難

我在磨課的過(guò)程中體會(huì)到：只有把概念講清講透學(xué)生充分理解了，課堂上只講基礎(chǔ)題，學(xué)生照樣會(huì)做難題，這樣的課就成功了。最終我在靈活運(yùn)用延伸拓展這個(gè)環(huán)節(jié)只設(shè)計(jì)了一個(gè)例題和兩個(gè)練習(xí)，主要考察學(xué)生對(duì)知識(shí)的直接應(yīng)用，而把重點(diǎn)放在了經(jīng)歷概念發(fā)生發(fā)展過(guò)程的三個(gè)探究活動(dòng)上，從學(xué)生的作業(yè)情況看，效果非常好，學(xué)生真正理解了概念，靈活運(yùn)用的題目也做得得心應(yīng)手。在后續(xù)的習(xí)題課中，可以再有針對(duì)性的進(jìn)行提高。

總之，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)中至關(guān)重要的一項(xiàng)內(nèi)容。學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)差別的關(guān)鍵是在對(duì)數(shù)學(xué)概念理解，應(yīng)用和轉(zhuǎn)化等方面的差異。因此抓好概念教學(xué)是提高初中數(shù)學(xué)質(zhì)量的帶有根本性意義的一環(huán)。教學(xué)過(guò)程中應(yīng)充分考慮到這一因素，抓住有限的概念教學(xué)的契機(jī)，以提高大多數(shù)學(xué)生的素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 孫道斌.構(gòu)筑數(shù)學(xué)概念教學(xué)的理想課堂[C].合肥：教育部北京師范大學(xué)基礎(chǔ)教育課堂研究中心，2014，（3）：48-52.