淺談一題多解與一題多變

許國能

摘要：數(shù)學(xué)是一門必修學(xué)科，它具有整體性、邏輯性和復(fù)雜性的特點，會使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中覺得有點吃力。但是，高中數(shù)學(xué)是高考中的一個重要組成部分，其分值也比較大，對學(xué)生的升學(xué)產(chǎn)生直接的影響。所以，必須在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中提升教學(xué)的有效性。高中數(shù)學(xué)教師要根據(jù)學(xué)生的實際情況，及時地改變數(shù)學(xué)的教學(xué)方法，不斷地探索新的、更加有效的教學(xué)模式，例如一題多解和一題多變的教學(xué)，這種教學(xué)方法不但可以鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識，還能培養(yǎng)學(xué)生的思維和創(chuàng)新精神，提升學(xué)生的解題技能。本篇文章主要從現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)的教學(xué)情況開始分析，提出在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中運用一題多解和一題多變的教學(xué)方法的建議和措施。

關(guān)鍵詞：一題多解；一題多變；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)方法

一、 高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀

雖然新課改已經(jīng)實行了許多年，但是高中數(shù)學(xué)教學(xué)受到傳統(tǒng)教育理念和教學(xué)模式的影響還比較嚴重，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中依然要面對作業(yè)繁重的問題，需要承受高考所帶來的壓力。究其原因，一方面由于受應(yīng)試教育模式的影響，使得學(xué)生必須參加高考，使得教師在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，使其能在高考中取得高分，往往采用習(xí)題教學(xué)，讓學(xué)生通過做大量的習(xí)題來鞏固所學(xué)的知識，但是同樣存在著巨大的弊端。單調(diào)繁重的習(xí)題練習(xí)，會使得學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)中造成思維的固化，還會對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生疲勞感，使得對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)停留在表面，缺少深入的鉆研。另一方面，由于社會競爭的越來越激烈，使得教師和家長在無形中將這種壓力傳給孩子，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)中往往更加在意分數(shù)的高低和排名的前后，而不是在每次的學(xué)習(xí)和考試中總結(jié)自己的學(xué)習(xí)情況：解題思路是否更加簡答、快捷？知識的掌握是否全面和深入。這些原因使得高中數(shù)學(xué)的教學(xué)更加機械化和表面化，為了追求分數(shù)，而忽略了對數(shù)學(xué)知識的整體把握，也忽視了對學(xué)生數(shù)學(xué)思維和學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。

二、 高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中運用一題多解與一題多變的必要性

（一） 激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識

如果一題多解、一題多變在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能夠得到靈活地運用，那么數(shù)學(xué)的教學(xué)就會更加地全面和深入。在這樣的一個學(xué)習(xí)過程中，引導(dǎo)高中生聯(lián)系自己已有的知識儲備進行一個積極全面的思考，學(xué)生在進行數(shù)學(xué)問題的分析和思考的過程中，開始改變單向的思維模式，轉(zhuǎn)而不斷開拓和發(fā)散自己的思維，學(xué)會從不同的方面探討問題，進而發(fā)現(xiàn)不同的思路和解決辦法。這樣不僅可以鞏固前面所學(xué)的知識，還能提高學(xué)生的創(chuàng)新意識，使得學(xué)生能夠?qū)⒔處熕鶄魇诘慕忸}思路與解題技巧進行內(nèi)化，從而提高學(xué)生做題的速度和準確率。

（二） 使得學(xué)生對知識的掌握更加全面

一題多解、一題多變的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式可以將相關(guān)的數(shù)學(xué)知識聯(lián)系和整合起來，然后再根據(jù)數(shù)學(xué)題目的不同，解題要求的不同，對知識采取不同的組合方式，進行解題。這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式還能打破學(xué)生以往的思維慣性，學(xué)會靈活地運用所學(xué)的知識，進而能夠從一個整體上把握知識的全貌，善于總結(jié)和歸納這些知識之間的聯(lián)系和區(qū)別。大量的一題多解和一題多變的訓(xùn)練后，學(xué)生漸漸學(xué)會舉一反三，使得數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)更加系統(tǒng)化和全面化。

（三） 提升學(xué)生解決問題的能力

數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要目標(biāo)就是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。一題多解與一題多變的數(shù)學(xué)教學(xué)方式能夠不斷鍛煉學(xué)生的思維能力，而且還能拓展學(xué)生的發(fā)散性思維。使得學(xué)生在遇到問題時，自覺地從不同的層次和不同的角度對這個問題進行一個全面的分析，從而發(fā)現(xiàn)不同的解決問題的方法，經(jīng)過對比分析，最終選擇一個最簡便的方法。這樣的教學(xué)方式，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識的同時，還能及時地回顧所學(xué)過的知識，做到溫故而知新，遇到類似的問題時會自然而然地聯(lián)想到與其他問題之間的關(guān)聯(lián)性，進而在最短的時間里選擇一種最簡單的方法進行解題，極大地提升解題的效率。

三、 一題多解與一題多變在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運用措施

（一） 在習(xí)題練習(xí)中的應(yīng)用

為了使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識掌握得更加牢固和深刻，教師經(jīng)常會給學(xué)生布置大量的練習(xí)，讓學(xué)生在大量的習(xí)題中加深對知識的記憶和理解。但是往往這些練習(xí)比較零散，也缺乏針對性，使得學(xué)生往往做完這道題，在碰到下一道類似的題目時卻不會做，使得練習(xí)很低效。因此，數(shù)學(xué)教師要將一題多解和一題多變運用于習(xí)題練習(xí)中去，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，也真正實現(xiàn)習(xí)題的訓(xùn)練效果。一題多解和一題多變這樣的變式訓(xùn)練能夠?qū)⑺鶎W(xué)習(xí)的知識進行不同的組合和運用，進而幫助學(xué)生更加系統(tǒng)和全面地掌握所學(xué)的內(nèi)容。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中采用梯度的訓(xùn)練方式，能夠激發(fā)學(xué)生進行思維的創(chuàng)新和思維的拓展，久而久之會形成自己獨特的數(shù)學(xué)知識體系。教師在布置習(xí)題練習(xí)時，以一組一組的形式展開，把相關(guān)的習(xí)題進行整合，變換不同的形式，以從不同的角度對學(xué)生進行考察，使得學(xué)生在練習(xí)的過程中能夠運用所學(xué)的全部知識，進行不同的組合，從而扎實自己的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

例如，在對“等比數(shù)列”的知識進行復(fù)習(xí)時，為了使高中生對這一節(jié)知識的掌握更加牢固，數(shù)學(xué)教師可以把之前的練習(xí)再拿出來，進行一定地變化和拓展，使得高中生對新知識的理解更加深刻、運用更加熟練。學(xué)生之前做過這樣的一道題：已知在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，求出{an}的通項公式。在學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的通項公式后，教師可以將這道題進行改造，構(gòu)造一個新的等比數(shù)列{an+1}，要求求出它的通項公式后，再求出{an}的通項公式。通過這樣的一個變化，能使得學(xué)生對等比數(shù)列的知識有一個熟練的掌握，提高做題的效率。

（二） 在思維拓展中的應(yīng)用

通過高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生在掌握基本的數(shù)學(xué)知識外，還要具備一定的數(shù)學(xué)思維。所以，高中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中通過采用一題多解、一題多變的數(shù)學(xué)方式，鼓勵和引導(dǎo)高中生進行積極的思考，從而漸漸培養(yǎng)高中生良好的數(shù)學(xué)思維。在傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，習(xí)題的講解和試卷的評講會比較單調(diào)乏味，致使學(xué)生的積極性不高。導(dǎo)致這種情況的一個最重要的原因就是因為教師在習(xí)題講解的過程中就題論題，生搬硬套，缺乏新穎性，不僅無法激發(fā)學(xué)生的思維，在某種程度上還會固化學(xué)生的思維，使得學(xué)生在分析問題時不自覺地受到教師的影響，往往會限于一個思維的困境。因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生自己去進行問題的探索，要能夠從最簡單的習(xí)題出發(fā)，進而進行不斷地變式，讓學(xué)生直觀地感受同樣的一道題可能會有許多種變化，一道題可能有許多不同的解題方法，促使學(xué)生自發(fā)地進行反思和總結(jié)。

例如，在復(fù)習(xí)“概率”的相關(guān)知識時，教師可以給出這樣的一道題：一個盒子里有2顆紅色的球和7顆白色的球，一個人隨機地從盒子里面拿球，拿出來的球不再放回盒子中去，計算第四次拿出的球是紅球的概率。這是一道很普通的概率問題，教師不要直接告訴學(xué)生怎么去計算，而是引導(dǎo)學(xué)生嘗試用兩種方法去計算。第一種計算方法是把盒子中所有的球都取出來，然后進行排列，把每一個排列的形式都當(dāng)作一個基本的事件來看待，算出總事件，從而得出第四次拿到紅球的一個概率。第二種計算方法是把前四次取出來的球也進行一個排列，分別計算出基本的事件，最后計算出第四次拿到的球是紅球的概率。這樣的一個思考過程是對學(xué)生解題方法的提高，也是對學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)的提升。

（三） 在知識講解中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運用一題多解與一題多變的教學(xué)方式，能夠使得知識的講解更加直觀，學(xué)生理解起來更加全面。高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)相對來說具有一定的難度，學(xué)生對相關(guān)的定義定理、規(guī)律公式往往理解起來比較困難，這個時候教師如果還是按照書本進行照本宣科，不僅不能讓學(xué)生了解相關(guān)的知識，還會挫傷學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信心。但是教師如果將一題多解和一題多變式的教學(xué)策略靈活地應(yīng)用于日常教學(xué)，從知識點的不同方面進行講解，直觀全面地傳授知識，這樣高中生理解起來更加簡單，這也是符合高中生的學(xué)習(xí)規(guī)律。

例如，在學(xué)“三視圖”的相關(guān)知識時，考慮到學(xué)生很少接觸這些知識，缺乏一定的空間思維能力和想象能力，教師可以轉(zhuǎn)換一下教學(xué)方式，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)這一節(jié)知識。比如：教師可以充分利用身邊的物體進行教學(xué)，礦泉水瓶就是一個很好的教學(xué)工具，教師可以將礦泉水瓶正放在講臺上，讓學(xué)生畫出它的正視圖，等學(xué)生畫完后，教師在把礦泉水瓶放倒，瓶底對著學(xué)生，讓學(xué)生再畫出自己看到的礦泉水瓶形狀，以此類推，再畫側(cè)面。通過這樣的一個不斷的變化，能夠讓學(xué)生更加直觀形象地了解到三視圖的含義，真正理解三視圖就是指把一個物體放在一個固定的位置上，然后從三個不同的方向進行投影，也能夠幫學(xué)生了解如何通過觀察物體的三視圖來推斷物體的形狀。采用這樣一個不斷變化的教學(xué)方式，比教師直接告訴學(xué)生三視圖是什么、如何畫三視圖更加有效。在知識講解中運用一題多解和一題多變的教學(xué)思維，能夠極大地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，也能充分發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造力，從而切實提升高中數(shù)學(xué)的教學(xué)方式。

（四） 在知識復(fù)習(xí)中的應(yīng)用

任何學(xué)科知識之間都存在著一定的關(guān)聯(lián)，需要學(xué)生整體進行把握。高中數(shù)學(xué)的知識點，雖然表面上看并沒有什么交集，但是這些數(shù)學(xué)知識之間卻有著千絲萬縷的聯(lián)系。高中數(shù)學(xué)每個模塊的學(xué)習(xí)都是相互銜接的，因此教師在教學(xué)過程中要善于幫助學(xué)生總結(jié)、把握這些聯(lián)系，從而更好地從宏觀上認識數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。教師要經(jīng)常帶領(lǐng)學(xué)生進行學(xué)習(xí)的小結(jié)，時間和內(nèi)容跨度根據(jù)學(xué)生的實際情況，時間可以是一個星期、一個月，內(nèi)容可以是一個大的章節(jié)，也可以是其中的一節(jié)。及時對所學(xué)的知識進行復(fù)習(xí)和總結(jié)，能夠及時發(fā)現(xiàn)自己在學(xué)習(xí)中存在的不足，進而查缺補漏，也能在復(fù)習(xí)的過程中發(fā)現(xiàn)不同知識之間的聯(lián)系。這一點是非常重要的，因為在高考數(shù)學(xué)考試中單獨地去考察一個知識點是非常少見的，大部分的考題都是涉及許多不同的知識點。但是按照傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)方式，不僅不會達到預(yù)計的目標(biāo)，還會使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生厭倦。因此，可以將知識的復(fù)習(xí)與習(xí)題的練習(xí)結(jié)合起來，再結(jié)合一題多解、一題多變的形式，把不同章節(jié)的知識重新組合，使數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)更加靈活。在這樣的習(xí)題中，高中生能夠?qū)W會各種各樣的解題方式，實現(xiàn)從特殊到一般的轉(zhuǎn)化，進而發(fā)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)問題中的共性特征，使得對數(shù)學(xué)問題的分析更加全面。

例如，在復(fù)習(xí)“數(shù)列”這塊知識時，教師就可以將等差數(shù)列和等比數(shù)列類比起來，而不是僅僅做關(guān)于只涉及等差數(shù)列或者是等比數(shù)列的題目，因為對相關(guān)知識的考查都是交叉著進行的。因此教師要將這兩種數(shù)列融合進一個題目中，然后對題目進行不斷地組合，不斷地變化，使得學(xué)生對這一節(jié)知識的掌握更加牢固和熟練。比如“已知一個等差數(shù)列{an}的前10項和是310，前20項和是1220，由此可以確定其前 n 項和的公式嗎？”要求學(xué)生用兩種方式進行解答：

解法一：S10=310，S20=1220將它們代入公式Sn=na1+n（n-1）/2*d得到：

10a1+45d=310，20a1+190d=1220解這個關(guān)于a1與d的方程組，得到a1=4，d=6；

所以，Sn=4a1+n（n-1）/2*6=3n2+n。

解法二：因為{an}為等差數(shù)列，所以Sn=n（a1+an）/2，將條件帶入可得：10（a1+a10）/2=310①

20（a1+a20）/2=1220②

②—①×2得a20-a10=60，由d=（a20-a10）/（20-10）得d=6，

又由Sn=na1+n（n-1）/2*d得S10=10a1+45×6=310，

∴Sn=4a1+n（n-1）/2*6=3n2+n

通過引導(dǎo)學(xué)生用不同的方式解答問題，不僅可以鞏固學(xué)生的知識基礎(chǔ)，還能開拓學(xué)生的思維。

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運用一題多解和一題多變的教學(xué)方式，需要教師不斷轉(zhuǎn)變教學(xué)理念和創(chuàng)新教學(xué)方式，改變以往照本宣科式的教學(xué)模式，改變傳統(tǒng)的漫無目的的題海戰(zhàn)術(shù)，充分調(diào)動學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生積極參與到數(shù)學(xué)教學(xué)中去。教師要將一題多解和一題多變應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程，比如知識的講解、課堂的練習(xí)、知識的鞏固等，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加地開放，處在一個動態(tài)的過程中，從而拓展學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的解題能力，使得學(xué)生對知識的掌握更加全面和扎實，切實提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平，促進學(xué)生綜合素質(zhì)的全面提升。

參考文獻：

[1] 闞志超.“一題多解”與“多題一解”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的價值研究與實踐[J]. 中國校外教育，2015，（29）：23.