林詠

[摘? 要] 建模是一種方法，更是一種思想，在初中數學的教學過程中，教師要善于利用豐富多彩的課程活動開發(fā)促進學生的活動深入，促進學生的素養(yǎng)提升. 筆者結合綜合實踐活動的開展促進此項思想的進階提升.

[關鍵詞] 數學素養(yǎng);數學建模;數學活動;活動課程;不定方程

初中數學綜合實踐活動課程是在一部分教學內容完成或一個階段的學習之后安排的有一定開放性和實踐性的活動課程. 通過活動課程的教學，可以發(fā)展學生對數學的實際運用能力，提高學生的數學素養(yǎng)，擴展學生的數學視野. 數學活動課的素材可以來源于課本，也可以由教師根據學生的實際情況及可以利用的資源自主開發(fā). 在教學實踐中，筆者嘗試基于數學建模來開發(fā)活動課程，經過不斷調整與改善，依據課堂觀察及學生的調查反饋結果，得出該類型活動課程對激發(fā)學生的興趣有一定作用. 下文以活動課程“簡單的不定方程”為例，談談如何基于數學建模來開發(fā)數學活動課程.

人教版數學教材七年級下冊第八章為“二元一次方程組”，本章以含有多個未知數的實際問題為背景，讓學生經歷“分析數量關系→設未知數→列方程組→解方程組→得到實際問題的結果”的過程，體會用方程來刻畫現(xiàn)實問題的數學模型. 本章內容涉及二元一次方程組及其解法、實際問題與二元一次方程組、三元一次方程組的解法，重點是讓學生熟練掌握二元一次方程組的解法，體會用方程解決實際問題的過程. 在“三元一次方程組的解法”中，筆者以古算書《張邱建算經》中給出的經典問題“百錢百雞”引入教學，由于課堂時間及教學容量的限制，對該問題只是簡單提及，并沒有深入探究，從學生的眼光中筆者看到他們對該問題的興趣及疑惑. 為了盡一切可能解決學生在學習上的疑惑，并且拓寬學生的數學視野，筆者嘗試在本章最后安排一次題為“簡單的不定方程（組）”的活動課.

素材來源：不定方程在課本中并未提及，因此筆者通過查閱文獻及互聯(lián)網搜索的方法，搜集簡單的不定方程問題，同時也對現(xiàn)有的問題進行了改編，使其更貼近初中學生的生活[1].

教學目標：（1）了解不定方程的含義及形式，體會不定方程與生活的聯(lián)系. （2）會用枚舉法確定簡單的不定方程解的個數. （3）熟練運用轉化思想對不定方程進行變形.

教學重點：會分析實際問題中的數量關系，并會用不定方程表示這種關系.

教學難點：用枚舉法確定不定方程解的個數.

教學預設：

（1）創(chuàng)設情境、引入問題：以經典數學問題“百錢百雞”引入教學.

（2）小組合作、分析問題：教師引導、學生小組合作來探究問題的解決方法.

（3）揭示新知、解決問題：揭示“不定方程”的含義，用不定方程表示問題中的數量關系.

（4）聯(lián)系生活、運用新知：列舉生活中可以用不定方程解決的問題，并讓學生自主解答.

（5）暢所欲言、交流收獲：學生暢談本節(jié)課的收獲及對本節(jié)活動課的感悟.

活動一：創(chuàng)設情境，引入問題

百錢百雞問題：“今有雞翁一，值錢五;雞母一，值錢三;雞雛三，值錢一. 凡百錢買雞百只. 問雞翁、母、雛各幾何？”

師：百錢百雞問題是歷史上著名的經典數學問題，在古算書《張邱建算經》上有記載，你是否能用你的智慧解決這個問題呢？

設計意圖? 用古代經典問題引入教學，可以讓學生感悟數學的發(fā)展，潛移默化地豐富數學文化知識，同時以該問題激發(fā)學生的學習興趣.

活動二：小組合作，分析問題

（完成方式：學生小組合作，教師深入學生引導，然后小組代表交流展示）

生1：我們小組認為應該用三元一次方程組解決.

師：請具體說明.

生1：設雞翁、雞母、雞雛分別有x，y，z只，列方程x+y+z=100，

5x+3y+z=100.

師：這是三元一次方程組嗎？

生1：是，但通常三元一次方程組包含三個方程，這里少了一個.

師：你觀察得很仔細，那你們小組求解出來了嗎？

生1：我們小組用了列舉的方法，假設x=1，y=1，z=98，代入第二個式子檢驗;再假設x=2，y=1，z=97，再代入檢驗……

師：你們求出答案了嗎？

生1：沒有.

師：其他小組有沒有能求解出答案的呢？

生2：我認為x，y，z都是正整數，并且z應該是3的倍數. 可以從第二個式子開始嘗試，分別令z=3，6，9…

師：你們列舉到結果了嗎？

生2：暫時還沒有.

生3：我覺得應該從z=99，96，93…開始列舉，因為雞雛的價格是最低的，而要買100只雞，雞雛的數量一定遠超過雞翁和雞母的數量. 所以我們通過列舉法得到了一組解：x=12，y=4，z=84.

師：你們小組真了不起，竟然算出了答案. 那這個答案是方程組唯一的答案嗎？

學生遲疑.

生4：我以前見過這個問題，它有好幾個答案，其中一個我記得是x=0，y=25，z=75.

師：看來你的知識面很廣，而且記憶力也很好. 沒錯，這個方程組確實有多組解，古人解決這個問題花了好多年，而你們只用了幾分鐘就能求出其中一部分解，老師為你們的智慧點贊！

設計意圖? 創(chuàng)設情境是初中數學新授課常用的引入方法，通過情境可以讓學生體會到數學與生活的聯(lián)系，激發(fā)學生對本節(jié)課教學內容的興趣. 數學活動課以學生的探究活動為主，因此教師要放手讓學生自己想、自己學.

活動三：揭示新知，解決問題

師：上述方程組和我們在課本中學的方程組有什么不一樣嗎？

生1：我們學的方程組兩個方程對應兩個未知數，三個方程對應三個未知數，而這個方程組有三個未知數卻只對應兩個方程.

師：你歸納得很完整. 這個方程組未知數的個數和方程的個數不一致，因此它解的個數不確定，這樣的方程叫作不定方程.

教師簡要介紹不定方程的概念：不定方程是指解的范圍為整數、正整數、有理數或代數整數等的方程或方程組，一般來說，其未知數的個數多于方程的個數.

師：求解不定方程是不是只能通過逐一列舉的方法呢？

題后總結：我們解決上述問題的辦法最終依舊是枚舉，但在此之前我們找到了未知數所滿足的附加條件，將未知數的范圍進行了縮小，這樣枚舉的次數就大大減少了，這就是解決不定方程的主要方法.

設計意圖? 本環(huán)節(jié)是揭示不定方程的概念及不定方程的解法環(huán)節(jié)，以教師引導學生的形式共同完成. 教師在講授解法的過程中要重點關注學生的接受程度及反饋情況.

師：其實，在我們生活中處處存在著可以用不定方程（組）來解決的問題. 請你在下面三個問題中挑選一個，和你的同伴合作完成.

問題1：班級籌備元旦晚會活動，生活委員計劃用200元去購買單價為22元的帽子和單價為17元的手套作為獎品在抽獎環(huán)節(jié)使用，你有沒有辦法正好將這200元用完？

問題2：在一次足球聯(lián)賽中，某隊經過20輪比賽共積48分，問該隊勝了幾場、負了幾場、平了幾場？（勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分）

問題3：某影院電影票有10元，15元，20元三種票價，班長用500元正好買了30張電影票，請問票價為20元的比票價為10元的多了多少張？

（完成方式：小組合作交流，小組代表全班展示，教師深入學生指導）

設計意圖? 該環(huán)節(jié)是學生知識建構的主要環(huán)節(jié)，讓學生自己經歷數學建模的過程，體味數學與生活的關系，同時學會不定方程的解法. 小組合作則是充分發(fā)揮了“兵教兵”的優(yōu)勢，讓更多的學生能參與到主動學習中去.

師：在今天的數學活動課中，你是否感受到了數學的魅力，對數學又有了新的認識呢？請你談談本節(jié)課的收獲吧.

生1：我第一次聽說“不定方程（組）”，覺得挺有意思的.

生2：今天學了不定方程（組）以后，我覺得我們之前學的方程（組）太簡單了.

生3：我覺得數學是一門很有用的學科，能解決我們生活中的很多問題.

生4：我覺得數學的發(fā)展源遠流長，古人也是充滿智慧的.

設計意圖? 該環(huán)節(jié)是本節(jié)課的升華，讓學生通過自己總結收獲而達到知識內化的效果. 開放式問題的設置也是為了讓學生在學習中有主動吐露心聲的機會，教師借此機會傾聽，可以掌握最真實的學情.

在這次活動課教學中，筆者感想頗多，最大的感觸就是學生的智慧遠遠超過我們的想象. 在“運用新知”的環(huán)節(jié)多數小組在沒有教師幫助的情況下便解決了問題，尤其是部分后進生，在本堂課中也表現(xiàn)積極、認真思考. 這讓筆者堅信，在不影響常態(tài)課教學進度的前提下盡可能安排更多的綜合實踐活動課對教學是有促進作用的. 在此次活動課之后，筆者又設計了“隨機模擬”“簡單的線性規(guī)劃”“幾何上的距離問題”等數學活動課，實踐后均達到了預期的效果.

在初中數學教學中，綜合實踐活動課是作為提高學生對數學的運用能力的課型提出來的，因此其教學內容可以在大綱之外. 數學建模是用數學來解決生活問題常用的方法，基于數學建模來設計數學活動課，對提高學生的數學能力、培養(yǎng)學生的數學素養(yǎng)都有著積極作用[2]. 當然，這不是設計數學活動課的唯一依據，在教學中，唯有根據學情與社會的需求多思考、多改進，才能設計出最適合學生發(fā)展的數學課，更好地服務于學生.

參考文獻：

[1]梅瓊. 小選擇題看大建模[J]. 教學管理與教育研究， 2017， 2（18）：88-90.

[2]徐冬梅. 模型思想：一個具有豐富意義的數學概念——基于初中數學的思考[J]. 數學教學通訊， 2017（5）：49-50.