“多元表征”促成分?jǐn)?shù)意義理解

朱昭偉

【摘要】分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容之一，因其自身意義的多層級，其相關(guān)教學(xué)內(nèi)容一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)難點。那么，突破之路在何方？如何才能促成分?jǐn)?shù)意義的有效理解？本文基于這些問題，通過理論解讀，對課標(biāo)、教師用書、教材的分析，以及學(xué)生學(xué)習(xí)起點的研究，以《分?jǐn)?shù)的簡單計算》課前思考與實踐為例，找到了促成概念意義理解的有效路徑——多元表征。

【關(guān)鍵詞】多元表征 分?jǐn)?shù)意義 分?jǐn)?shù)的簡單計算

分?jǐn)?shù)的意義理解及運算是小學(xué)課程的重要內(nèi)容，理解分?jǐn)?shù)的意義是小學(xué)生數(shù)概念發(fā)展的重要里程碑。但同時，“分?jǐn)?shù)是一些小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出真正困難的實際起點，并由此在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)兩極分化”。這固然與“一個分?jǐn)?shù)具有多種相關(guān)又不同的意義”不無關(guān)系（Kieren強調(diào)了分?jǐn)?shù)五種不同的意義的理解：部分與整體的關(guān)系、商、測量、運算及比），也應(yīng)與教學(xué)缺乏有效的路徑存在較大相關(guān)?！罢n標(biāo)第一學(xué)段對分?jǐn)?shù)內(nèi)容的要求主要是‘部分與整體關(guān)系的意義”。人教版數(shù)學(xué)三年級上冊《分?jǐn)?shù)的簡單計算》一課作為《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》的同單元后續(xù)課例，同樣也承載著促進(jìn)分?jǐn)?shù)“部分與整體”意義理解的要求。那么，如何才能在《分?jǐn)?shù)的簡單計算》課時中促成對分?jǐn)?shù)“部分與整體”意義的理解呢？筆者通過課標(biāo)與教師用書解讀、教材解讀分析、學(xué)習(xí)起點實測等三方面的課前研究，明確了可通過多元表征促成對分?jǐn)?shù)意義的理解。下面，筆者將從“多元表征相關(guān)論述”“課標(biāo)、教師用書及教材解讀指向多元表征”“學(xué)習(xí)起點研究需要多元表征”等三方面來闡述。

一、多元表征相關(guān)論述

“多元表征理論”是當(dāng)下數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)的研究成果?！皵?shù)學(xué)多元表征是指同一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的多種表征形式”，數(shù)學(xué)表征分類有很多種，常見的表征形式有圖形表征、情境表征、文字表征、符號表征等。該定義至少有以下含義：其一，就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容而言，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容必然包含學(xué)習(xí)對象的多元表征形式;其二，就數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程而言，數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)是一種學(xué)習(xí)策略或方法，即基于多元表征來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并運用多元表征的方法來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。具體到概念教學(xué)，“幫助學(xué)生建立概念的多元表征，并能根據(jù)需求和情境在表征的不同成分之間作出靈活的轉(zhuǎn)換”自然就成為數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個重要目標(biāo)。從教學(xué)策略上講，通過建立概念的多元表征形式，加強不同表征之間的轉(zhuǎn)換，也會促進(jìn)學(xué)生對概念的理解。

二、課標(biāo)、教師用書及教材解讀：明確多元表征

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對“分?jǐn)?shù)”在第一學(xué)段的相關(guān)內(nèi)容的要求為：“數(shù)的認(rèn)識”中第五條“能結(jié)合具體情境初步認(rèn)識小數(shù)和分?jǐn)?shù)”，第六條“能結(jié)合具體情境比較兩個小數(shù)的大小，能比較兩個同分母分?jǐn)?shù)的大小”，以及“數(shù)的運算”第五條“會進(jìn)行同分母分?jǐn)?shù)（分母小于10）的加減運算及一位小數(shù)的加減運算”。這里的“結(jié)合具體情境”就是明確應(yīng)在結(jié)合情境表征的情況下學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)。教師用書對該課所在單元的教學(xué)建議中明確提出“注意通過多元表征之間的轉(zhuǎn)換，逐步加深對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”“借助多種直觀模型和操作，理解分?jǐn)?shù)的含義”。同時，教師用書中具體到該課的教學(xué)建議中明確提出“借助幾何直觀、通過分?jǐn)?shù)的含義，讓學(xué)生理解算理，體會算法”。上述課標(biāo)與教師用書的解讀都指向“多元表征”，通過多元表征豐厚學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的理解。

人教版數(shù)學(xué)三年級上冊的認(rèn)識分?jǐn)?shù)及比較分?jǐn)?shù)大小的相關(guān)內(nèi)容，無論是例題還是練習(xí)題，都編排了大量的圖形、情境、文字與符號等不同表征及多種表征相互轉(zhuǎn)換的內(nèi)容。細(xì)讀《分?jǐn)?shù)的簡單計算》相關(guān)內(nèi)容（圖略）更是如此，無論是例1分?jǐn)?shù)的加法、例2分?jǐn)?shù)的減法，還是例3“1-分?jǐn)?shù)”，每個例題都有情境表征、圖形表征、文字表征（包括通過分?jǐn)?shù)的含義理解算理）及符號表征（相應(yīng)的算式）的內(nèi)容，表征相互轉(zhuǎn)換的教學(xué)意圖也十分明顯。

三、學(xué)習(xí)起點研究：需要多元表征

對該課的學(xué)習(xí)起點研究，我們根據(jù)多元表征理論研究制定了比較合理的既有不同表征情況又有“分?jǐn)?shù)加法”“分?jǐn)?shù)減法”“1-分?jǐn)?shù)”三種類型的前測題（前測題詳見表1），試圖了解學(xué)生在不同的表征情況下分?jǐn)?shù)的簡單計算起點情況。而后通過對某小學(xué)一個班50個學(xué)生進(jìn)行了正式測查、個別訪談。

經(jīng)過對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計（見表2、表3）及進(jìn)一步分析，至少有了以下分析結(jié)果：

1.受整數(shù)加減法的負(fù)遷移影響，部分學(xué)生對分?jǐn)?shù)的多元表征能力較差

三類題型錯誤率橫向比較，無論第一部分還是第二部分，都呈現(xiàn)“1減幾分之幾>分?jǐn)?shù)加法>分?jǐn)?shù)減法（不包括1減幾分之幾）”的分布，且“1減幾分之幾”題型的錯誤率遠(yuǎn)高于其他兩類題型。通過查閱前測試卷，分?jǐn)?shù)加法及減法計算錯誤基本集中為分子、分母分別相加減，說明這部分學(xué)生受整數(shù)加減法的負(fù)遷移影響比較明顯，且沒有建立分?jǐn)?shù)多元表征的表象。

2.學(xué)生對分?jǐn)?shù)概念缺乏有效的多元表征，表征間的轉(zhuǎn)換存在困難 第二部分題1是有情境支撐的分?jǐn)?shù)加法，無論是計算錯誤還是畫圖錯誤，錯誤率都較低。第二部分題2是無情境支撐的分?jǐn)?shù)減法，錯誤率明顯上升，且圖像錯誤率遠(yuǎn)高于算式錯誤率。第二部分題3是有情境支撐“1減幾分之幾”的類型，錯誤率還是很高，只有19人列出了正確算式，其中只有4人寫出“1-3/4”，其他的都是“4/4-3/4”。說明學(xué)生對分?jǐn)?shù)還沒有建構(gòu)起有效的多元表征，表征之間的轉(zhuǎn)換也存在較大困難。另外在“1減幾分之幾”的題型中，學(xué)生無法將1與“6/6及4/4”進(jìn)行有效聯(lián)結(jié)，導(dǎo)致錯誤率極高。

根據(jù)對上述前測結(jié)果的分析，進(jìn)一步明確該課教學(xué)需要用多元表征豐厚分?jǐn)?shù)意義的理解。

綜上，無論是從理論解讀，課標(biāo)、教師用書、教材的解讀分析，還是對學(xué)生學(xué)習(xí)起點的研究，這些都明確了以“多元表征”促成對分?jǐn)?shù)概念意義的理解。

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