吳潔慧

摘要：圓在初中平面幾何中是非常重要的一塊內(nèi)容，近年來中考中往往和三角形、四邊形結(jié)合命題，2020年浙江臺州數(shù)學(xué)中考的第23題就是這樣一道在圓背景下的幾何綜合題。本題的解決需要學(xué)生具備一定的直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。整理了此題的多種解法，并對試題導(dǎo)向進(jìn)行了一定的分析。

關(guān)鍵詞：基本圖形;轉(zhuǎn)化;劃歸;方程;數(shù)學(xué)建模

一、試題呈現(xiàn)

（2020臺州中考第23題）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，將△ABC沿直線AB翻折得到△ABD，連接CD交AB于點(diǎn)M，E是線段CM上的點(diǎn)，連接BE，F(xiàn)是△BDE的外接圓與AD的另一個交點(diǎn)，連接EF，BF.

（1）求證：△BEF是直角三角形;

（2）求證：△BEF∽△BCA;

（3）當(dāng)AB=6，BC=m時，在線段CM上存在點(diǎn)E，使得EF和AB互相平分，求m的值.

二、基于核心素養(yǎng)的試題評價(jià)

（一）關(guān)注核心內(nèi)容，全面考查基礎(chǔ)

本題以圓為背景，全面考查了初中階段“圖形與幾何”的核心內(nèi)容，特別是三角形的相關(guān)內(nèi)容，這些內(nèi)容都是初中階段課標(biāo)要求的基礎(chǔ)知識和基本技能。第（1）題考查了“翻折”—軸對稱的性質(zhì)、直角三角形的判定。第（2）題考查了相似三角形的判定。第（3）題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形（矩形）的性質(zhì)與判定、勾股定理、垂徑定理的應(yīng)用。特別是“EF和AB互相平分”也就是線段的特殊的數(shù)量關(guān)系，由此得到直線AF和BE“平行”的特殊的位置關(guān)系，再確定動點(diǎn)E的位置，從而確定BC的長度，符合幾何從一般到特殊的研究規(guī)律。這小題中考查了初中求線段的幾種基本方法，特別是利用相似三角形找線段的比例關(guān)系、建立方程并求解這種一般路徑。這是初中生必須掌握的基本方法和基本技能。

本題的第（2）小題的圖形中，有很多學(xué)生在平時練習(xí)中遇到并總結(jié)過的基本圖形。題干中的“箏形”來自人教版教材八年級上的全等三角形，圓內(nèi)接四邊形的圖來自于九年級上的內(nèi)容，第（3）小題的線段計(jì)算則可以用到“母子相似”“A子字形相似”“X字形相似”“共邊共角型相似”等相似三角形的基本圖形。這些基本圖形，能幫助學(xué)生順利地進(jìn)行轉(zhuǎn)化劃歸，將圓背景的綜合問題轉(zhuǎn)化到三角形問題去解決，因此此題對學(xué)生分析解決問題的能力提出了較高要求。

（二）凸顯思想方法，直擊核心素養(yǎng)

這是一題圓背景的幾何綜合題，本題的解決需要學(xué)生具備一定的邏輯推理、幾何直觀、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，對學(xué)生幾何的四基和四能有很好的檢驗(yàn)和評價(jià)作用。特別第（3）小問的求值問題，需要學(xué)生在復(fù)雜幾何圖形中發(fā)現(xiàn)基本圖形，并利用相似三角形的性質(zhì)或者勾股定理等基本方法建立方程模型求解，綜合考查了直觀想象和數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)，也考查了轉(zhuǎn)化劃歸的數(shù)學(xué)基本思想方法。同時，由于點(diǎn) E 是動點(diǎn)，由它的特殊性需要在備用圖中畫出準(zhǔn)確圖形，也考查了學(xué)生基本課堂活動經(jīng)驗(yàn)的積累，只有能相對準(zhǔn)確畫出圖形的學(xué)生才會發(fā)現(xiàn)由EF和AB互相平分可以得到EB∥AD，加上第（1）小題得到的∠BEF是直角，可知四邊形EFDB是特殊四邊形矩形這個結(jié)論，才能根據(jù)“射影定理”“勾股定理”等建立方程模型，因此平時的教學(xué)我們一定要重視學(xué)生的動手畫圖能力，積累必需的作圖經(jīng)驗(yàn)，要讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生過程，明確定理使用的條件。

三、部分多解、優(yōu)解賞析

（一）第（1）題的解法分析

RT△的判定，通常有三種方法：①直接證明一個內(nèi)角是直角;②證明兩銳角互余;③證明三邊滿足a2+b2=c2，也就是應(yīng)用勾股定理逆定理。本題題干中沒有線段長度的條件，故無法考慮第三種方法。

解法1：因?yàn)椤鰽BD是由△ABC翻折而來，故△ABD ≌△ABC，可得∠ABD =∠ABC=90°。又B、E、F、D內(nèi)接于圓，利用“圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)”可得∠BEF=90°。

解法2：得到∠ABD =∠ABC=90°后，利用圓周角推論可得BF是直徑，再利用“直徑所對圓周角是直角”得到∠BEF=90°。

解法3：得到∠ABD =90°后，將它分成兩個角∠FDE和∠BDE，再利用“同弧所對圓周角相等”，將這兩個角分別等量代換到∠FBE和∠EFB，得到∠FBE+∠EFB=90°，利用兩銳角互余的三角形是直角三角形得證。

簡析：顯然，運(yùn)用解法3的同學(xué)對教材中圓內(nèi)接四邊形的基本圖形不夠熟悉，但是能進(jìn)行正確的等量代換，說明其還是具備了一定的幾何素養(yǎng)。

（二）第（2）題的解法分析

在第（1）小題中已經(jīng)證得△BEF是RT△了，即現(xiàn)已具備一組對應(yīng)角相等，即兩個直角相等，這種情況下要證明兩個三角形相似，有兩個途徑，一是需要再證明一組角對應(yīng)相等，二是找到兩直角邊滿足對應(yīng)邊成比例，此題中需要證明? ? ? ? =? ? ? ? ，顯然比較困難，大部分基礎(chǔ)比較扎實(shí)的學(xué)生不會選擇這條途徑。

解法1：如圖1，由（1）得知∠ABD =∠ABC =90°，可得A、C、B、D四點(diǎn)共圓，故∠CAB =∠CDB（或∠CBA =∠CDA），又B、E、F、D內(nèi)接于圓，可得∠EFB =∠CDB（或∠EBF = ∠EDF），∴∠CAB=∠EFB（或∠CBA =∠EBF）.

解法2：如圖2，∠ACB=90°，CD關(guān)于AB軸對稱，故CD⊥AB，可以發(fā)現(xiàn)母子相似的基本圖形，利用同角的余角相等，可得∠CAB=∠1，再由軸對稱性可得∠1=∠2，又B、E、F、D內(nèi)接于圓，可得∠EFB =∠2，∴∠CAB=∠EFB。

或者要證∠CBA =∠EBF也是同樣的。

簡析：解法1用了兩次等量代換，顯然較為快捷，且學(xué)生能使用四點(diǎn)共圓，必定平時的學(xué)習(xí)是有拓展思維的。解法2用了三次等量代換，次數(shù)要多一次，但是用解法2的同學(xué)觀察到了“母子相似”這一基本圖形，這一基本圖形可以幫助我們通過“射影定理”得到很多的線段的數(shù)量關(guān)系，很多的角的數(shù)量關(guān)系，對第（3）小題的解決會起到一定的作用。

（三）第（3）題的解法分析

這一小題的解法是最多的，但是繞不開建模的思想，也就是根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系建立方程，一般幾何中可以找到的等量關(guān)系就是相似三角形對應(yīng)邊成比例，以及直角三角形的勾股定理。

1.思路1：相似與勾股結(jié)合，利用射影定理或者勾股定理將線段表示成關(guān)于m的代數(shù)式，最后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例或勾股定理建立方程。

幾何題中求線段長度最常用的基本方法是根據(jù)三種關(guān)系列等式：勾股，相似，等積。在本題中顯然等積法的計(jì)算量過大，不具有優(yōu)勢，但是并非不可以。這個方法雖然繁復(fù)，但是可以將幾何中計(jì)算線段的基本方法在此題的解法中補(bǔ)充完整。其實(shí)，此題中有非常多的直角三角形，所以線段之間的數(shù)量關(guān)系也可以用三角函數(shù)去表示;另外，本題的相似和勾股非常多，多種組合均可列出更多方程或方程組，筆者這里就不再一一列舉了。

所謂一題多解，多解歸一，最終劃歸為根據(jù)數(shù)量關(guān)系建立方程模型，因此通過此類幾何題能夠檢驗(yàn)出學(xué)生的劃歸能力和建模能力的水平，能夠衡量出學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

四、從特殊到一般的試題拓展

此題是EF和AB互相平分，從而得到線段之間特殊的數(shù)量關(guān)系。如果我們將它一般化：

教師也可將原題中AB的長度改成其他數(shù)值，此時，解題思路和方法依舊不變。一則是希望學(xué)生能理解研究幾何的一般規(guī)律：一般到特殊，特殊到一般，以及理解動態(tài)問題中的不變的關(guān)系和量。另一則也是希望學(xué)生能領(lǐng)悟代數(shù)問題中的數(shù)式通性。

五、教學(xué)導(dǎo)向分析與教學(xué)建議

楊樂院士在《現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展及其對基礎(chǔ)教育的影響》中指出：“平面幾何這一人類歷史上非常重要的理論，我們還是應(yīng)該很好地掌握，因?yàn)槲矣X得現(xiàn)在還沒有別的東西能代替平面幾何對中學(xué)生進(jìn)行幾何直觀能力和邏輯推導(dǎo)能力的訓(xùn)練。”

而多年來，浙江省內(nèi)多地雖然采用不同版本教材，但是各地中考均堅(jiān)持關(guān)注核心內(nèi)容及其教學(xué)，關(guān)注考查核心素養(yǎng)，類似這樣的命題對幾何解題教學(xué)起到正面積極的導(dǎo)向作用。

本題雖然是圓背景下的幾何綜合題，但是轉(zhuǎn)化劃歸后，實(shí)際上是需要解決三角形問題，因此在解題教學(xué)中，我們一定要引導(dǎo)學(xué)生在平時的解題過程中及時歸納總結(jié)基本圖形，并熟悉基本圖形，包括熟悉圖形的特征及基本元素之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。學(xué)會在復(fù)雜的圖形中分離出一些基本圖形，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題。

要能發(fā)揮好“基本圖形”的作用，實(shí)質(zhì)上是要幫助學(xué)生在研究平面幾何的過程中學(xué)會思考，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，這是能力和素養(yǎng)的標(biāo)志。

而要發(fā)揮“基本圖形”的力量，解題教學(xué)的設(shè)計(jì)可以先“基本圖形”，再“變式圖形”，最后“綜合圖形”，讓學(xué)生在連續(xù)有關(guān)聯(lián)的幾何問題解決中得到邏輯推理論證的技能訓(xùn)練，學(xué)會靈活運(yùn)用概念、性質(zhì)解決平面幾何問題。

教師要引導(dǎo)學(xué)生明確基本圖形的條件和適用情形，在推理過程中必須每一步都論據(jù)充分，用歸納、演繹進(jìn)行推理，避免出現(xiàn)胡亂套用，或者邏輯不清的情況。此外，切忌拿“基本圖形”的結(jié)論作為定理使用，我們要用嚴(yán)密性、準(zhǔn)確性和明確性作為邏輯推理能力的衡量標(biāo)準(zhǔn)。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：奚春皓）