于秋琳

摘 要： 極限作為數(shù)學(xué)中常用的基本概念之一，是用以描述變量在一定變化過(guò)程中的極端狀態(tài)，是一種將事物無(wú)限逼近某一狀態(tài)的概念。極限思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)反映，是形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)化的紐帶。在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的啟蒙階段對(duì)其滲透極限思想，不但可以提高學(xué)生的抽象思維能力，而且有助于學(xué)生掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想和方法，使他們受益終生。本文闡述了極限思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透的必要性，并結(jié)合數(shù)學(xué)公式、概念、練習(xí)、總復(fù)習(xí)等教學(xué)案例，論述了極限思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透的途徑及滲透過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題。

關(guān)鍵詞： 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 極限思想 滲透

一、極限思想及其歷史簡(jiǎn)介

17世紀(jì)微積分創(chuàng)立伊始，無(wú)限概念便成為人們關(guān)注的主題。無(wú)窮小的概念是微積分建立的一個(gè)基礎(chǔ)，在研究物體運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，先把它看做是可以無(wú)限減少的量，這時(shí)它比零大，同時(shí)又把它看做零而忽略不計(jì)，即認(rèn)為它是零。數(shù)學(xué)家們?yōu)榱讼@種矛盾，進(jìn)行了長(zhǎng)期不懈的探索。19世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西比較完整地闡述了極限概念及其理論，在柯西的思想中，函數(shù)不會(huì)直接趨近于極限，必須經(jīng)過(guò)含有無(wú)窮小的表達(dá)式。他把無(wú)窮小視為以零為極限的變量，這就澄清了無(wú)窮小“似零非零”的模糊認(rèn)識(shí)。在變化過(guò)程中，它的值可以是非零，但它變化的趨向是“零”，可以無(wú)限接近于零?？挛鞯臉O限論是一種潛無(wú)限的過(guò)程，而極限的完成又表現(xiàn)為實(shí)無(wú)限?？梢?jiàn)，柯西的理論中潛無(wú)限與實(shí)無(wú)限在某種程度上達(dá)到了統(tǒng)一，但柯西的極限定義中仍有許多不嚴(yán)格的地方，后經(jīng)維爾斯特拉斯的進(jìn)一步改進(jìn)，終于用“ε-δ”語(yǔ)言將其精確化了。

二、極限思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透的必要性

在小學(xué)階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)相對(duì)比較簡(jiǎn)單，學(xué)生可能在走出校門(mén)后不到兩年就將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)淡忘了，但是，那些所學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法將牢記于心，不管日后在工作中還是在生活中，都可以隨時(shí)發(fā)揮作用。所以，將數(shù)學(xué)思想和方法不斷地滲透給學(xué)生，才是學(xué)生掌握知識(shí)的關(guān)鍵。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，有很多知識(shí)點(diǎn)是與極限思維有關(guān)的，如自然數(shù)、奇偶數(shù)和循環(huán)小數(shù)等涉及數(shù)量無(wú)限多的概念，以及直線、射線、角的邊、平行線的長(zhǎng)度等涉及無(wú)限延伸性的幾何概念等。教師在教學(xué)過(guò)程中如能刻意挖掘，并適當(dāng)?shù)貙⑵涮N(yùn)涵的極限思想和方法滲透給學(xué)生，那么不僅可以讓學(xué)生掌握知識(shí)點(diǎn)和開(kāi)拓思維，而且可以讓學(xué)生在以后的生活和工作中隨時(shí)發(fā)揮作用。

三、在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透極限思想的重要途徑

小學(xué)階段的學(xué)生由于正處在身心發(fā)展的階段，是形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)化的階段，對(duì)極限思想的理解具有局限性，但并不意味著在教學(xué)過(guò)程中要淡化對(duì)極限思想的滲透。在教學(xué)過(guò)程中，教師可以利用推導(dǎo)公式的過(guò)程、學(xué)習(xí)新概念的過(guò)程、練習(xí)和總復(fù)習(xí)的過(guò)程對(duì)學(xué)生進(jìn)行滲透，提高學(xué)生的抽象思維能力。

（一）在推導(dǎo)公式的過(guò)程中滲透極限思想

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，會(huì)涉及大量的關(guān)于數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)，有些公式的推導(dǎo)就是運(yùn)用的極限思維推導(dǎo)出來(lái)的，教師可以利用這一過(guò)程潛移默化地對(duì)學(xué)生進(jìn)行滲透。最典型的運(yùn)用極限思想推導(dǎo)出公式的例子就是圓的面積。

案例一：教學(xué)“圓的面積”

在教學(xué)“圓的面積公式的推導(dǎo)”這節(jié)課時(shí)，教師往往讓學(xué)生把一個(gè)圓連續(xù)對(duì)折，在不斷對(duì)折過(guò)程中，學(xué)生就可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)折的次數(shù)越多，所得到對(duì)折后的圖形越來(lái)越接近與三角形，展開(kāi)后，沿折痕把圓平均分成若干個(gè)近似等腰三角形，等腰三角形的兩腰就是圓的半徑，而底邊就是圓周長(zhǎng)的一部分。在這個(gè)環(huán)節(jié)學(xué)生能夠感受到由曲變直的過(guò)程，領(lǐng)會(huì)從近似分割到無(wú)限細(xì)分的數(shù)學(xué)思維方法。

在公式推導(dǎo)過(guò)程中，運(yùn)用了“變曲為直”、“化圓為方”極限分割思路。在有限分割的基礎(chǔ)上讓學(xué)生想象無(wú)限細(xì)分的最終狀態(tài)，這樣不但使學(xué)生能夠牢記公式，而且能將無(wú)限逼近的極限思想滲透到他們的腦海中。

（二）在學(xué)習(xí)新概念的過(guò)程中滲透極限思想

新概念對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)是新接觸的知識(shí)，是一個(gè)從無(wú)到有的過(guò)程，也是讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中的專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)的認(rèn)識(shí)與理解，也為他們以后的學(xué)習(xí)奠定一定的基礎(chǔ)。有些新概念中蘊(yùn)含一定的極限思想，教師在教授的同時(shí)可以適當(dāng)?shù)貪B透給學(xué)生，幫助他們更好地理解新概念。

案例二：教學(xué)“循環(huán)小數(shù)的概念”

在教學(xué)“循環(huán)小數(shù)的概念”這節(jié)課時(shí)，它的概念性較強(qiáng)，同時(shí)在這節(jié)新課中也蘊(yùn)含著極限的思想。在講循環(huán)小數(shù)的概念之前教師往往會(huì)讓學(xué)生討論：0.999…和1哪個(gè)大？學(xué)過(guò)方程的學(xué)生可能會(huì)將0.999…設(shè)為x，那么10x=9.99…，10x=x+9，9x=9，那么x=1，所以0.999…=1。那么沒(méi)有學(xué)過(guò)方程的學(xué)生可以在一些算式當(dāng)中找規(guī)律：1-0.9=0.1，1-0.99=0.01，1-0.999=0.001，1-0.999=0.0001…，1-0.999…=？，這時(shí)學(xué)生就可以從這些算式中發(fā)現(xiàn)當(dāng)小數(shù)部分的9增加一位時(shí)，其數(shù)值就多了一個(gè)0，那如果0.999…中小數(shù)部分有無(wú)窮多個(gè)9，那么最終結(jié)果會(huì)無(wú)限趨近于0。

（三）在練習(xí)過(guò)程中滲透極限思想

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)一定離不開(kāi)練習(xí)，練習(xí)是對(duì)所學(xué)知識(shí)的鞏固和訓(xùn)練，但是在練習(xí)中教師往往忽略了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想和方法的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)思想和方法的形成是需要不斷積累、不斷應(yīng)用達(dá)成的。所以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和方法不僅需要老師在講授新課過(guò)程中潛移默化地滲透，而且要在練習(xí)過(guò)程中不斷鞏固和訓(xùn)練。

從圖中可以直觀地看出隨著分?jǐn)?shù)分母不斷增加，正方形所劃分的空間越來(lái)越小，而空白部分的面積越來(lái)越大，大到不斷逼近正方形的面積1，那么當(dāng)有無(wú)窮多項(xiàng)相加時(shí)，其結(jié)果趨近于1。

（四）在總復(fù)習(xí)過(guò)程中滲透極限思想

總復(fù)習(xí)是把前面學(xué)過(guò)的相對(duì)獨(dú)立及零散的知識(shí)點(diǎn)聚集起來(lái)，以回顧、歸納、總結(jié)等方式梳理知識(shí)點(diǎn)，形成知識(shí)網(wǎng)，明確各個(gè)概念之間的聯(lián)系，使數(shù)學(xué)知識(shí)在學(xué)生頭腦之中更加完整化、條理化和系統(tǒng)化。

案例四：教學(xué)“平面圖形的整理與復(fù)習(xí)”

在這節(jié)課中，教師把學(xué)生所學(xué)過(guò)的平面圖形羅列出來(lái)，包括長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形及圓，對(duì)它們的特點(diǎn)進(jìn)行分析。如果借助極限思想以梯形的面積公式為核心進(jìn)行梳理，那么又該如何推導(dǎo)出其他圖形的面積公式呢？梯形面積公式：S=（上底+下底）×高÷2，假設(shè)讓梯形的上底無(wú)限趨近于0，那么所得的圖形近似于三角形，S=下底×高÷2，即三角形的面積公式：S=（上底+下底）×高÷2。同理，把長(zhǎng)方形兩腰趨向垂直于底、正方形的四條邊趨近于相等、平行四邊形黨的上下底邊趨于相等，都可以推導(dǎo)出各平面圖形的面積公式。

S=（a+b）h÷2

通過(guò)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)圖，使學(xué)生對(duì)所學(xué)過(guò)的平面圖形的面積公式有了更深刻的理解，讓學(xué)生知道解決問(wèn)題并不只有一個(gè)方法，幫助學(xué)生形成較完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使極限思想潛移默化地印在學(xué)生的頭腦之中。

四、極限思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透的注意問(wèn)題

在小學(xué)階段，學(xué)生的邏輯思維和抽象思維能力較弱，而極限思想的邏輯性和抽象性都很強(qiáng)，小學(xué)生不易理解。首先，在教學(xué)過(guò)程中教師要由淺入深，從具體到抽象，從感性到理性，根據(jù)學(xué)生在學(xué)習(xí)各階段的認(rèn)識(shí)水平和知識(shí)特點(diǎn)，逐步滲透，螺旋上升。其次，極限思想方法不像一般數(shù)學(xué)知識(shí)那樣，通過(guò)幾節(jié)課的學(xué)習(xí)就可以掌握。只有通過(guò)不斷循序漸進(jìn)和反復(fù)訓(xùn)練，才能使學(xué)生真正有所領(lǐng)悟。最后，教師要努力挖掘教材中可以進(jìn)行極限思想滲透的知識(shí)點(diǎn)，將極限思想融合于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之中。

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