淺談幾何解題思維在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的應(yīng)用與實(shí)施

王春華

[摘? 要：在幾何的教學(xué)過程中，在講清楚基本概念的同時，要有意識地培養(yǎng)學(xué)生利用學(xué)過的知識，通過類比、聯(lián)想、拓展等數(shù)學(xué)方法，從多個方面去思考和解決問題，一題多解。教師在課堂上，要多挖掘一些行之有效的一題多解的例題和習(xí)題，去鍛煉培養(yǎng)學(xué)生的思維應(yīng)變能力

關(guān)鍵詞：一題多解;數(shù)學(xué)思想;探索創(chuàng)新]

八年級階段，學(xué)生開始全面接觸平面幾何問題，對幾何問題的解決方法有了一定的認(rèn)識和了解。但學(xué)生的幾何思維還稍顯稚嫩，對定理的把握，對方法的總結(jié)，對技巧的應(yīng)用，均還在初級的形成階段。這個時候，如果學(xué)生的思維能夠打開，逐漸形成多角度，全方位去思考問題的習(xí)慣，對于后面幾何問題的學(xué)習(xí)，就大有裨益。因此，在幾何的教學(xué)過程中，在講清楚基本概念的同時，要有意識地培養(yǎng)學(xué)生利用學(xué)過的知識，通過類比、聯(lián)想、拓展等數(shù)學(xué)方法，從多個方面去思考和解決問題，一題多解，并注意總結(jié)解題特征，解題方法，最后達(dá)到觸類旁通，融會貫通，從而開拓自己的幾何思維，形成全面、嚴(yán)謹(jǐn)、靈活地解決幾何問題的習(xí)慣。

我們教師在課堂上，要多挖掘一些行之有效的一題多解的例題和習(xí)題，去鍛煉培養(yǎng)學(xué)生的思維應(yīng)變能力。下面，我就以我們平時課堂上和教材上出現(xiàn)的一些簡單而又經(jīng)典的問題進(jìn)行詳細(xì)講解。

以人教版八年級數(shù)學(xué)第十八章《平行四邊形》第18.1.2節(jié)《三角形的中位線》為例，在這一節(jié)中，教材給出了三角形的中位線的概念，中位線定理的內(nèi)容及其證明。

教材原文如下：

此題的解題方法，對于同學(xué)們來講，并不是很陌生。特別是輔助線的做法，我們在全等三角形的證明中提及過，當(dāng)遇到中點(diǎn)時，我們可以通過倍長過中點(diǎn)的線段來構(gòu)造全等三角形。這里通過倍長，構(gòu)造了一組對角線互相平分，從而構(gòu)造出平行四邊形，再通過平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行下一步證明。此題的輔助線較多，而且學(xué)生剛接觸平行四邊形不久就讓其構(gòu)造平行四邊形，難度相對較大，絕大多數(shù)同學(xué)還停留在全等三角形的相關(guān)知識。但是，學(xué)生在看到中點(diǎn)后，應(yīng)該要有構(gòu)造等長線段的這種意識。而這種意識的形成，就需要我們老師在課堂上，通過類似的例題進(jìn)行訓(xùn)練，發(fā)散學(xué)生的思維。下面，我們通過改變中位線定理的題設(shè)和結(jié)論，得到一個新的命題，并證明該命題為真命題。

母題1：

如圖所示，在△ABC中，D為邊AB的中點(diǎn)，

過點(diǎn)D作DE∥BC，交邊AC于點(diǎn)E。

求證：E為AC的中點(diǎn)。

此題，對于很多學(xué)生來講，覺得是顯而易見的結(jié)論，但要進(jìn)行嚴(yán)格的證明，我相信，有相當(dāng)一部分學(xué)生是有困難的，這一點(diǎn)，也在我的課堂上得到了驗(yàn)證。但同時，對于一些思維發(fā)散的學(xué)生來講，證明的方法又顯得多種多樣，下面我們就來探討下該題的多種解題方法。

解法一：利用平行線分線段成比例定理或者三角形相似的性質(zhì)來做，相對較簡單，但是這是九年級的知識，八年級的絕大多數(shù)學(xué)生并不清楚，對于他們來講并不適用，此處不再詳細(xì)介紹。

解法四：構(gòu)造全等三角形證明線段相等。這種方法應(yīng)該是學(xué)生們最熟悉也經(jīng)常用的方法。有中點(diǎn)，則有線段相等，只需要構(gòu)造出另外的邊相等或者角相等即可實(shí)現(xiàn)兩三角形全等。

解法五：利用等面積法證明線段相等。等面積法在初中階段，是一種非常重要的證明線段相等的辦法，有時候會起到柳暗花明的效果，在平時的要跟學(xué)生滲透這種思想方法。

解法六：取AC的中點(diǎn)，再證該點(diǎn)和E點(diǎn)是同一點(diǎn)即可。此法思維的難度較大，學(xué)生可能一時難以理解和掌握，但此法在高中的平面幾何和立體幾何中非常常見，是比較常規(guī)的證明點(diǎn)在線上，或者某點(diǎn)是何特殊點(diǎn)的方法，在初中階段，對于有能力的學(xué)生，可以適當(dāng)滲透。

即E為AC的中點(diǎn)。

通過上述的例題我們可以看到，一道非常簡單的幾何題中，蘊(yùn)含了了非常多的數(shù)學(xué)思想和方法。如果我們在教學(xué)過程中，能從多個角度去剖析這道題的話，不僅能讓學(xué)生很好地鞏固和升華已學(xué)的知識點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法，更重要地是能讓學(xué)生理清楚這些方法中的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)一步發(fā)散自己的幾何思維。同時，從這些多樣化的方法中，學(xué)生容易找到滿足感和成就感，從而提升自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，促進(jìn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，一舉多得。

其實(shí)，教材在編排的時候，非常注意這些思想方法的滲透，我們老師對這些經(jīng)典例題和習(xí)題千萬不要淺嘗輒止，也應(yīng)該像教材一樣潤物細(xì)無聲，逐步完成對學(xué)生的思想和方法的滲透

我們再來看一下本章習(xí)題18.2拓廣探索的第16題。

教材母題2：

如圖，在△ABC中，BD，CE分別是邊AC，AB上的中線，BD與CE相交于點(diǎn)O. BO與OD的長度有什么關(guān)系？BC邊上的中線是否一定過點(diǎn)O？為什么？（提示：分別作BO，CO的中點(diǎn)M，N，連接ED，EM，MN，ND.）

分析：本題通過構(gòu)造中位線，得到四邊形EMND為平行四邊形，利用其對角線互相平分得出第一問的結(jié)果：BO=2 OD.而第二問，對于八年級的學(xué)生來說，是有一定的難度的，考察的是如何證三線共點(diǎn)的問題。教材其實(shí)在前面也以練習(xí)的形式，讓學(xué)生們證明了三角形的三條角平分線，三條垂直平分線交于一點(diǎn)，這兩條線交于一點(diǎn)的證明難度較小，直接利用角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)就能解決。而要解決此題，必須要跟學(xué)生滲透證明三線共點(diǎn)的兩種最基本的思想方法：1、連接并延長AO，與BC交于點(diǎn)F，說明AF是△ABC的中線;2、取BC的中點(diǎn)F，連接AF，證明AF經(jīng)過點(diǎn)O。

下面我們從這兩個方面采取不同的方法去解決這道題：（第一問的證明比較簡單，直接應(yīng)用中位線定理即可，證明過程略過）

以上幾例，蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法有些并不簡單，但是我們可以通過不同的切入點(diǎn)，和我們學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的知識結(jié)合起來，通過最基本的方法證明出結(jié)論。在這種一題多解中滲透思想方法，讓學(xué)生的興趣大增，學(xué)生在解題過程中愿意思考，敢于探索，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)了多元思維和創(chuàng)新能力。當(dāng)然，上述枚舉的幾例，是站在老師角度去思考的，對于八年級的學(xué)生來講，可能有些還會存在些許難度，特別母題2的面積法，對思維程度稍微差一點(diǎn)的學(xué)生來講，會有些混亂，此時，我們老師在課堂上，不能為了只為了單純追求多解泛泛而講，我們應(yīng)該立足在一題多解的基礎(chǔ)上，追尋解決該問題的本質(zhì)，找到知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，從而使學(xué)生的知識多樣化和系統(tǒng)化，只有這樣，他們才會在解題的過程中真正達(dá)到一題多解，對數(shù)學(xué)知識達(dá)到升華。

參考文獻(xiàn)

[1]人教版八年級數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書.

[2]王海軍.一題多解和一題多變在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].考試周刊，2017（68）.

[3]姚大鵬.一題多解 夯實(shí)基礎(chǔ) 培養(yǎng)能力[J].科教導(dǎo)刊（中旬刊）.2016（08）.

[3]農(nóng)秀麗.論高考數(shù)學(xué)試題解法的一題多解[D].百色學(xué)院學(xué)報(bào).2011：88-94.

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