摘 要：在小學數(shù)學學習中，“圖形與幾何”領域在培養(yǎng)學生的幾何直觀、空間觀念和量感等方面都具有不可替代的作用。但由于這一領域知識的高度抽象性和小學生形象化思維占據(jù)主導地位的特點，學生的學習頗具挑戰(zhàn)性，空間觀念的形成也存在一定的困難。借助數(shù)學工具，如化抽象為具象的操作性工具、讓思維可視化的圖示化工具、拓展空間想象的信息化工具，能夠有效地促進學生科學地建構空間觀念。

關鍵詞： 小學數(shù)學；圖形與幾何；數(shù)學工具

“圖形與幾何”領域在培養(yǎng)學生的幾何直觀、空間觀念和量感等方面都具有不可替代的作用。但由于這一領域知識的高度抽象性和小學生形象化思維占據(jù)主導地位的特點，學生的學習頗具挑戰(zhàn)性，空間觀念的形成也存在一定的困難。筆者在教學實踐中發(fā)現(xiàn)，借助數(shù)學工具，如化抽象為具象的操作性工具、讓思維可視化的圖示化工具、拓展空間想象的信息化工具，能夠有效地促進學生科學地建構空間觀念。

一、操作性工具：化抽象為具象

操作性工具，主要包括生活中的實物、米尺、計數(shù)器、釘子板、量角器等。合理使用操作性工具，在操作驗證的具身體驗中進行觀察、思考，有助于學生從顯性知識的表象入手，準確把握圖形的特征。操作性工具可由教師提供，也可以由學生自制。

（一）教師提供操作性工具

比如，教學蘇教版小學數(shù)學三年級上冊《平移和旋轉》一課，可以讓學生觀察教材中一組靜態(tài)的物體運動圖片，發(fā)現(xiàn)并描述圖片中物體運動方式的相同和不同之處。由于靜態(tài)圖片難以呈現(xiàn)運動的過程，學生調(diào)動以往的生活經(jīng)驗后，也只能描述出單個物體的運動狀態(tài)。有的說“火車車廂向前運動、電梯和國旗向上運動”，有的說“電風扇、螺旋槳和鐘面指針都是轉動的”，學生難以發(fā)現(xiàn)其不同物體運動的本質特征。鑒于此，筆者在課前給每個小組準備了手持電風扇、風車、空竹、升國旗模型、動車模型、電動傳輸帶模型等操作性工具（如圖1所示），讓學生先在小組里進行實踐操作，觀察這些物體的運動，然后根據(jù)這些物體的運動方式進行分類。

操作性工具的演示，符合學生形象思維的特點，學生在“玩一玩”“比一比”活動中，思維聚焦于尋找物體運動的本質特征，發(fā)現(xiàn)手持電風扇、風車、空竹這三個物體都是繞著一個點在做運動，而升國旗模型、動車模型、電動傳輸帶模型這三個物體雖然運動方向不同，但都是沿著直線在做運動。有了這樣的具身體驗，學生對平移和旋轉的特點感受深刻。

（二）學生自制操作性工具

比如，教學蘇教版小學數(shù)學二年級下冊《時、分、秒》一課，可以課前布置學生自己制作一個鐘面。學生依據(jù)已有的生活經(jīng)驗，制作的鐘面不一定是完美的，可能數(shù)字和間隔數(shù)不對，也可能缺少時針或者分針。而隨著課堂上學習的不斷深入，學生經(jīng)歷觀察和實踐操作的過程，認識了鐘面、時針和分針（知道鐘面上有1-12的數(shù)字，有12個間隔數(shù)；時針較短，走一大格是1小時；分針較長，走一大格是5分鐘），就會逐漸發(fā)現(xiàn)自制工具的不足之處，并主動去完善、修正，進而認識到在每一大格里再平均分成5小格（如圖2所示），更便于讀出精準的時間。學生在制作鐘面的過程中充分感知鐘面的組成元素，對分針和時針的認知更進一步。然后，讓學生用自己制作的鐘面參與“我說你撥”“我撥你猜”的活動。此時，學生有了深刻的具身體驗，能夠快速又正確地讀出或撥出時間，鐘面的幾何直觀悄然建立。

二、圖示化工具：讓思維可視化

圖示化工具，主要包括公式、表格、思維導圖等。借助圖示化工具，用數(shù)學語言和數(shù)學符號描述數(shù)學思考的過程，清晰呈現(xiàn)自己的思路，讓“圖形與幾何”領域學習中隱性的思維顯性化。

（一）學習提示卡

比如，教學蘇教版小學數(shù)學五年級上冊《梯形的面積》一課時，筆者設計了下頁圖3所示的學習提示卡，提示學生把不同的推導過程記錄在表格中：一方面，呈現(xiàn)學生的推導方法，方便同伴之間的交流；另一方面，比較發(fā)現(xiàn)不同思路的異同點，厘清不同思路之間的關系，找準共性，凸顯數(shù)學本質。

學生研究出不同方法（詳見下頁表1），在比較中引發(fā)猜想：如果是等腰梯形、直角梯形，是否也適合用這個公式呢？然后，學生再次經(jīng)歷想象的過程，進行合情推理，再次借助學習提示卡驗證結論。

利用學習提示卡，學生自然地用合適的數(shù)學語言或符號把操作實踐、合理想象的過程描述出來，思維方式和解決問題的層次結構得以外顯。

（二）單元思維圖

比如，教學蘇教版小學數(shù)學五年級上冊《多邊形的面積》單元后，筆者引導學生做一個單元的思維導圖。學生一開始只是簡單地羅列公式，后來注意到各個平面圖形面積之間的聯(lián)系，不斷調(diào)整圖形的位置，還加上了箭頭指示（如下頁圖4）。在有意義的圖像和符號表達中，學生進一步回憶、再現(xiàn)、內(nèi)化探究和思維的過程，體驗不同圖形面積之間的內(nèi)在聯(lián)系和本質區(qū)別，完成知識的結構化梳理。

三、信息化工具：拓展空間想象

信息化教學工具，主要包括實物投影、希沃白板、微視頻、幾何畫板等現(xiàn)代化教學設備。借助信息化工具，可以突破傳統(tǒng)教學的時空限制，豐富學習資源，為學生插上想象的翅膀。

比如，圓的面積公式推導的教學，通常的做法是：引導學生把圓的面積轉化成長方形進行探究，通過動畫演示讓學生明白圓周長的一半等于長方形的長，圓的半徑是長方形的寬，因為長方形的面積等于長乘寬，從而推導出圓的面積公式。這樣的演示過程，學生停留在看的層面，對圓和長方形之間的聯(lián)系并不是很清楚，思維也受限于這一種方法。這時可以借助希沃白板，對圓進行等分切割后，讓學生自由組拼，自主探索圓的面積公式。學生的空間想象有了支撐，呈現(xiàn)出不同的推導方法（有的拼成長方形，有的拼成三角形，有的拼成梯形，分別如下頁圖5—圖7）。交流分享之后，教師引導學生觀察比較，使思維再次聚焦到圓和不同的平面圖形之間的關系，進而認識到，雖然組拼成的圖形不同，但是都得到了同樣的面積公式。

又如，教學蘇教版小學數(shù)學五年級下冊《圓的周長》一課后，教師首先讓學生運用所學知識解決生活中的實際問題：“校園里圓形花壇和圓形水池的周長怎樣測量？”然后追問：“地球的周長又可以怎樣測量呢？”學生面面相覷，不知如何入手。這時，教師引導學生展開想象，然后播放微視頻，介紹現(xiàn)代科學家測量地球周長的方法：通過分析來自多顆衛(wèi)星的信號，確定接收器的位置以及距地球參考橢球體的高度，然后使用該信息計算得出地球赤道半徑為a=6378.1370千米，極半徑為b=6356.7523千米，平均半徑就為（2a+b）/3=6371.0088千米。

最后，教師再次播放微視頻，介紹2000多年前古人測量地球周長的方法：“古希臘的埃拉托色尼發(fā)現(xiàn)，在夏至這一天，只要跟地面垂直的物體，都看不到一丁點陰影。于是，他就在夏至這一天，在位于亞歷山大港和它正南方的賽印城，各樹立一根垂直于地面的木棍，通過兩地木棍的影子，測量出亞歷山大港與賽印城的地形交匯角是7.2°，算出兩地的距離正好是地球周長的1/50 ，從而算出地球的周長約等于40000千米?！边@與現(xiàn)在科學家精準測量出的數(shù)據(jù)相差不了多少。信息化工具的使用拓展了學生的空間想象，學生也從中感受到解決問題方法的多樣與巧妙。

綜上，在“圖形與幾何”領域的教學中運用數(shù)學工具，可以為學生的學習提供強有力的支持，有助于學生增強數(shù)學學習的具身體驗，克服時間和空間的限制，有效建立空間觀念，提升學習成效。

本文系江蘇省南京市教學研究第十四期課題“支持小學生深度思維的‘數(shù)學工具箱’開發(fā)研究”（編號：2021NJJK14L08）的階段性研究成果。